Question

Знайдіть екстремуми функції y=2x^3-3x^2 нужно полностью расписать

Answer 1

Пошаговое объяснение:

у=2х³-3х² х∈R

у'=6х²-6х x∈R

6x²-6x=0

6x(x-1)=0

x(x-1)=0

x=0 x-1=0

x=1

+ - +

——o———o—

0 1

y'(-1)=6•(-1)²-6•(-1)=12

y'(1/2)= 6•(1/2)²-6•1/2= -3/2

y'(2)=6•2²-6•2=12

локальный максимум в точке х=0

локальный минимум в точке х=1

y(0)=2•0³-3•0²=0

y(1)=2•1³-3•1²= -1

ymax=0 при х=0

у min= -1 при х=1

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції y = 2x^3 - 3x^2 спершу знайдемо похідну цієї функції та встановимо, де ця похідна дорівнює нулю. Екстремуми відповідають точкам, де похідна змінює знак.

1. Знайдемо похідну функції y = 2x^3 - 3x^2:

y' = d/dx (2x^3 - 3x^2).

Використовуючи правила похідної для степеневих функцій та констант, отримаємо:

y' = 6x^2 - 6x.

2. Тепер розв'яжемо рівняння y' = 0:

6x^2 - 6x = 0.

Ділимо обидві сторони на 6:

x^2 - x = 0.

3. Факторизуємо ліву сторону рівняння:

x(x - 1) = 0.

4. Тепер визначимо значення x, для яких x(x - 1) = 0. Це дає нам два корені:

a) x = 0. b) x - 1 = 0, тобто x = 1.

Отже, ми знайшли дві точки, де похідна дорівнює нулю: x = 0 і x = 1.

5. Тепер перевіримо, як змінюється знак похідної навколо цих точок. Для цього візьмемо тестові точки в інтервалах між коренями та за межами них.

a) Візьмемо x < 0, наприклад, x = -1. Підставимо в y':

y' = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12.

Отже, на інтервалі (-∞, 0) похідна додатня.

b) Візьмемо 0 < x < 1, наприклад, x = 0.5. Підставимо в y':

y' = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5.

На інтервалі (0, 1) похідна від'ємна.

c) Візьмемо x > 1, наприклад, x = 2. Підставимо в y':

y' = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12.

На інтервалі (1, ∞) похідна додатня.

Тепер ми можемо зробити висновок:

• На інтервалі (-∞, 0) функція має мінімум.
• На інтервалі (0, 1) функція має максимум.
• На інтервалі (1, ∞) функція має мінімум.

Таким чином, ми знайшли екстремуми функції y = 2x^3 - 3x^2 та визначили їх характер (мінімум або максимум) та розташування на вісі x.