Question

Используя свойства операций над множествами проверить истинность соотношений для любых множеств A,B,C. Если соотношение неверное, составить контрпример. (A⊕B)\(B∩C) = A⊕(B\C)

Answer 1

Для доведення или опровержения данного соотношения, воспользуемся свойствами операций над множествами.

(A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C)

Раскроем операцию симметрической разности ⊕:

(A∪B)∩(A∩B)'∩(B∩C)' = A∪(B\C)

Теперь рассмотрим две возможные ситуации:

Пусть A∩B = ∅ (пустое множество)

Тогда (A∩B)' = U (универсальное множество)

Таким образом, левая часть выражения будет равна (A∪B)∩U∩(B∩C)' = A∪(B\C), что соответствует правой части.

Пусть A∩B ≠ ∅ (непустое множество)

В этом случае рассмотрим пример для опровержения соотношения:

Пусть A = {1}, B = {1, 2}, C = {2}

Тогда левая часть выражения будет:

(A⊕B)(B∩C) = ({1}⊕{1, 2})({1, 2}∩{2}) = {2}{2} = ∅

А правая часть выражения будет:

A⊕(B\C) = {1}⊕{1} = ∅

Таким образом, левая часть не равна правой части для данного контрпримера.

Вывод: Исходное соотношение (A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C) не всегда истинно.

Answer 2

Привет!
Для начала разберемся со значением каждого символа операций:

⊕ - операция симметрической разности (обозначает элементы, принадлежащие либо множеству A, либо множеству B, но не одновременно обоим множествам)
\ - операция разности множеств (обозначает элементы, принадлежащие множеству A, но не принадлежащие множеству B)
∩ - операция пересечения множеств (обозначает элементы, принадлежащие как множеству B, так и множеству C)

Теперь применим эти операции в соответствии с заданной формулой:

(A⊕B)\(B∩C) = (A\B)⊕(B\C)

Разберемся пошагово:

1. Сначала нужно вычислить B∩C - пересечение множеств B и C. Это будет множество из тех элементов, которые одновременно принадлежат и B, и C.

2. Затем нужно вычислить A⊕B - симметрическую разность множеств A и B. Это будет множество из тех элементов, которые либо принадлежат только A, либо только B, но не одновременно обоим множествам.

3. Далее нужно вычесть из множества A⊕B все элементы, которые принадлежат множеству B∩C. То есть оставить только те элементы, которые либо принадлежат только A, либо только B\C.

4. С другой стороны формулы по аналогии вычисляем B\C - разность множеств B и C, затем A\B - разность множеств A и B, а затем объединяем эти множества при помощи операции симметрической разности ⊕.

Теперь проверим, действительно ли A⊕B\B∩C = A\B ⊕ B\C. Для проверки возьмем произвольные множества:

A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, C = {3,4,5}

1. B∩C = {3,4}

2. A⊕B = {1,4}

3. (A⊕B)\(B∩C) = {1} (так как оставляем только те элементы, которые принадлежат только A)

4. A\B = {1}, B\C = {2}, (A\B)⊕(B\C) = {1,2} (так как объединяем только те элементы, которые либо принадлежат только A, либо только B\C).

Таким образом, получается, что (A⊕B)\(B∩C) ≠ (A\B)⊕(B\C), иначе говоря, исходное соотношение неверно.

Контрпример, подтверждающий неверность соотношения:

A = {1,2}, B = {2,3}, C = {2}

Тогда

B∩C = {2}

A⊕B = {1,3}

(A⊕B)\(B∩C) = {1,3}

A\B = {1},

B\C = {3}

(A\B)⊕(B\C) = {1,3}

Таким образом, мы получили A⊕B\B∩C = {1,3}, но A\B ⊕ B\C = {1,3}.

Answer 3

Давайте разберемся с данным соотношением, используя свойства операций над множествами.

Дано: (A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C)

Мы знаем, что операция симметрической разности (⊕) и операция разности () множеств определены следующим образом:

1. A⊕B = (A\B)∪(B\A)
2. A\B = A∩(B')

Теперь давайте подставим эти определения в исходное уравнение:

((A\B)∪(B\A)) \ (B∩C) = (A∩(B')) ∪ ((B\A) ∩ (C'))

Теперь мы можем использовать законы дистрибутивности и ассоциативности, чтобы упростить уравнение:

(A\B∩C) ∪ (B\A∩C) = (A∩B') ∪ (B∩C') ∪ (B∩A') ∪ (A∩C')

Теперь мы видим, что у нас есть несколько членов, которые имеют одинаковые элементы (например, A∩B' и B∩A', B∩C' и C∩B'), и мы можем объединить их:

(A\B∩C) ∪ (B\A∩C) = (A∩C') ∪ (B∩C')

Теперь мы видим, что у нас нет равенства между левой и правой частями уравнения. Давайте рассмотрим контрпример:

Пусть A = {1, 2}, B = {2, 3}, и C = {3, 4}.

Левая часть: ((A\B)∪(B\A)) \ (B∩C) (({1}∪{3})({2}∩{3})) = ({1, 3}{2}) = {1, 3}

Правая часть: (A∩C') ∪ (B∩C') ({1, 2}∩{4}) ∪ ({2, 3}∩{4}) = {} ∪ {} = {}

Левая часть не равна правой части, поэтому исходное уравнение (A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C) неверно.

Таким образом, мы доказали, что данное уравнение не выполняется в общем случае, и предоставили контрпример для подтверждения этого.