Question

Решите систему уравнений x^2 + y^2 + z^2 = 13,x + y + z = 3,xy + yz + zx = -3.a) Найдите все значения x, y и z, удовлетворяющие этой системе уравнений.b) Докажите, что эта система уравнений не имеет других решений.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

С одной стороны:

x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=3²-2×(-3)=9+6=15

Здесь используется известная формула сокращенного умножения, после чего подставляются данные из второй и третьей строк системы.

С другой стороны:

x²+y²+z²=13

Это следует из условия.

Но 13 не равно 15 => система не имеет решений на множестве действительных чисел.

Система уравнений решена!

Answer 2

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Давайте начнем с уравнения x + y + z = 3 и выразим одну из переменных, например, z:

z = 3 - x - y

Теперь подставим это значение в два других уравнения:

1. x^2 + y^2 + (3 - x - y)^2 = 13
2. xy + y(3 - x - y) + x(3 - x - y) = -3

Распишем уравнения и упростим их:

1. x^2 + y^2 + (9 - 6x + x^2 - 6y + y^2) = 13
2. xy + 3y - xy - y^2 + 3x - x^2 - xy = -3

Теперь упростим уравнения и объединим:

1. 2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y + 9 = 13
2. -x^2 - y^2 + 3x + 3y = -3

Теперь приведем оба уравнения к стандартному виду квадратичных уравнений:

1. x^2 + y^2 - 3x - 3y - 2 = 0
2. x^2 + y^2 - 3x - 3y + 3 = 0

Теперь у нас есть система двух квадратичных уравнений. Давайте выразим y из одного уравнения и подставим его в другое:

1. y = (3x - x^2 - 2) - (x^2 + 3x - 3y)
2. y = (3x - x^2 - 2) - (x^2 + 3x + 3)

Теперь у нас есть два выражения для y:

1. y = (3x - x^2 - 2) - (x^2 + 3x - 3y)
2. y = (3x - x^2 - 2) - (x^2 + 3x + 3)

Сравнивая их, мы видим, что они идентичны. Это означает, что система уравнений имеет единственное решение. Теперь давайте найдем это решение. Для этого подставим одно из выражений для y в любое из исходных уравнений, например, в уравнение x + y + z = 3:

x + ((3x - x^2 - 2) - (x^2 + 3x - 3y)) + z = 3

Теперь упростим уравнение и найдем значение z:

x + 3x - x^2 - 2 - x^2 - 3x + 3y + z = 3

3x - x^2 - 2 - x^2 - 3x + 3y + z = 3

3x - x^2 - 2 - x^2 - 3x + 3y + z - 3 = 0

-2x^2 - 3x - 2 + 3y + z - 3 = 0

-2x^2 - 3x - 5 + 3y + z = 0

Теперь подставим это значение z в уравнение x^2 + y^2 + z^2 = 13:

x^2 + y^2 + (-2x^2 - 3x - 5 + 3y) = 13

Теперь упростим и решим это уравнение:

-x^2 - 3x + y^2 + 3y - 5 = 13

-x^2 - 3x + y^2 + 3y - 18 = 0

Теперь мы имеем систему двух квадратичных уравнений:

1. -2x^2 - 3x + 3y + z - 5 = 0
2. -x^2 - 3x + y^2 + 3y - 18 = 0

Мы можем решить эту систему уравнений численно или графически, чтобы найти значения x, y и z. Эти значения будут решением данной системы.