Question

Решите систему!! x²+12xy+36y²=121 x-3y=8

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{ {x}^{2} + 12xy + 36 {y}^{2} = 121} \atop {x - 3y = 8 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{(3y + 8) {}^{2} + 12y(3y + 8) + 36 {y}^{2} = 121 } \atop {x = 3y + 8}} \right. \\ \\(3y + 8) {}^{2} + 12y(3y + 8) + 36 {y}^{2} = 121 \\ (3y + 8 + 6y) {}^{2} = 121 \\ (9y + 8) {}^{2} - 11 {}^{2} = 0 \\ (9y + 8 - 11)(9y + 8 + 11) = 0 \\(9y - 3)(9y + 19) = 0 \\ 1) \: 9y - 3 = 0 \\ 9y = 3 \\ y = \frac{3}{9} \\ y _{1}= \frac{1}{3} \\ 2) \: 9y + 19 = 0 \\ 9y = - 19 \\ y = - \frac{19}{9} \\ y_{2} = - 2 \frac{1}{9 } \\ \\ x_{1} = 3 \times \frac{1}{3} + 8 = 1 + 8 = 9 \\ x_{2} = 3 \times( - \frac{19}{9}) + 8 = - \frac{19}{3} + 8 = - 6 \frac{1}{3} + 8 = 1 \frac{2}{3}$

Ответ: ( 9 ; 1/3 ) и ( 1 2/3 ; - 2 1/9 )

Answer 2

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Сначала решим второе уравнение относительно x:

x - 3y = 8

x = 8 + 3y

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение:

(8 + 3y)² + 12(8 + 3y)y + 36y² = 121

Раскроем скобки:

64 + 48y + 9y² + 96y + 12y² + 36y² = 121

Теперь объединим подобные члены и приведем уравнение к квадратному виду:

9y² + 12y² + 36y² + 48y + 96y + 64 - 121 = 0

57y² + 144y - 57 = 0

Далее, разделим уравнение на 57, чтобы упростить его:

y² + 2y - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

D = b² - 4ac

D = 2² - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √8) / 2 = (-2 + 2√2) / 2 = -1 + √2

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √8) / 2 = (-2 - 2√2) / 2 = -1 - √2

Теперь, у нас есть два значения y. Мы можем использовать исходное второе уравнение, чтобы найти соответствующие значения x:

Для y₁:

x = 8 + 3y₁ = 8 + 3(-1 + √2) = 8 - 3 + 3√2 = 5 + 3√2

Для y₂:

x = 8 + 3y₂ = 8 + 3(-1 - √2) = 8 - 3 - 3√2 = 5 - 3√2

Таким образом, система имеет два решения:

1. x = 5 + 3√2, y = -1 + √2
2. x = 5 - 3√2, y = -1 - √2