Question

Сколькими способами из 30 учащихся можно выбрать а) 4 дежурных? б) 4 дежурных и назначить одного из них старшим? в) 4 дежурных, если Сережа и Никита не хотят дежурить вместе?

Answer 1

Ответ:

а) 30*29*28*27 / 4*3*2*1 = 27405

б) 27405 *4 (варианта выбрать старшего)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этих задач, мы можем использовать комбинаторику, а именно комбинации и перестановки. Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди:

а) Сколько способов выбрать 4 дежурных из 30 учащихся? Для этой задачи мы будем использовать сочетания, так как порядок выбора дежурных не имеет значения. Формула для сочетаний из n элементов по k элементов: C(n, k) = n! / (k!(n - k)!), где n - общее количество элементов (30 учащихся), k - количество элементов, которые мы выбираем (4 дежурных).

C(30, 4) = 30! / (4!(30 - 4)!) = 30! / (4! * 26!) = (30 * 29 * 28 * 27) / (4 * 3 * 2 * 1) = 27,405 способов выбрать 4 дежурных из 30 учащихся.

б) Сколько способов выбрать 4 дежурных и назначить одного из них старшим? Для этой задачи мы будем использовать комбинации и перестановки. Сначала выберем 4 дежурных из 30 учащихся, как в предыдущей задаче, то есть 27,405 способов.

Затем, чтобы назначить одного из них старшим, у нас есть 4 варианта выбора старшего дежурного (поскольку любой из 4 дежурных может быть старшим).

Итак, общее количество способов выбрать 4 дежурных и назначить одного из них старшим равно 27,405 * 4 = 109,620 способов.

в) Сколько способов выбрать 4 дежурных, если Сережа и Никита не хотят дежурить вместе? В этой задаче мы можем использовать принцип включения-исключения. Сначала рассмотрим общее количество способов выбрать 4 дежурных из 30 учащихся, как в задаче (а), то есть 27,405 способов.

Теперь давайте рассмотрим количество способов, когда Сережа и Никита дежурят вместе. Это означает, что мы выбираем 2 дежурных из оставшихся 28 учащихся. Это можно сделать C(28, 2) способами.

Теперь мы исключим из общего числа способов количество способов, когда Сережа и Никита дежурят вместе: 27,405 - C(28, 2).

Итак, общее количество способов выбрать 4 дежурных, если Сережа и Никита не хотят дежурить вместе, равно 27,405 - C(28, 2) способам.

C(28, 2) = 28! / (2!(28 - 2)!) = (28 * 27) / (2 * 1) = 378 способов.

Итак, общее количество способов выбрать 4 дежурных, если Сережа и Никита не хотят дежурить вместе, равно 27,405 - 378 = 27,027 способов.