Question

Найти количество корней уравнения sin4x sin8x-sin5x sin9x=0 удовлетворяющих неравенству 1/х >1/ 2

Answer 1

......................

Answer 2

Для найти количество корней уравнения sin(4x)sin(8x) - sin(5x)sin(9x) = 0, которые удовлетворяют неравенству 1/x > 1/2, мы сначала рассмотрим уравнение и его корни, а затем определим, какие из этих корней удовлетворяют данному неравенству.

Уравнение: sin(4x)sin(8x) - sin(5x)sin(9x) = 0

Мы видим, что данное уравнение является тригонометрическим уравнением, и его решениями будут значения x, удовлетворяющие этому уравнению.

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, такими как формула произведения синусов:

sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)]

Применим это тождество к уравнению:

(1/2)[cos(4x-8x) - cos(4x+8x)] - (1/2)[cos(5x-9x) - cos(5x+9x)] = 0

Упростим уравнение:

(1/2)[cos(-4x) - cos(12x)] - (1/2)[cos(-4x) - cos(14x)] = 0

Теперь у нас есть:

(1/2)[cos(-4x) - cos(12x)] - (1/2)[cos(-4x) - cos(14x)] = 0

Упростим еще дальше:

(1/2)[cos(12x) - cos(14x)] = 0

Далее, мы можем рассмотреть эту уравнение как разность косинусов:

(1/2)[cos(14x) - cos(12x)] = 0

Теперь нам нужно найти корни этого уравнения. Уравнение будет иметь корни, когда:

cos(14x) - cos(12x) = 0

Используя формулу для разности косинусов, мы получаем:

2sin(13x)sin(x) = 0

Теперь мы имеем два множителя: sin(13x) и sin(x). Уравнение будет иметь корни, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю. Это означает, что корни будут удовлетворять уравнениям:

1. sin(13x) = 0
2. sin(x) = 0

Первое уравнение (sin(13x) = 0) имеет решения вида x = kπ/13, где k - целое число.

Второе уравнение (sin(x) = 0) имеет решения вида x = nπ, где n - целое число.

Теперь давайте проверим, какие из этих корней удовлетворяют неравенству 1/x > 1/2. Для этого мы должны рассмотреть интервалы значений x.

Неравенство 1/x > 1/2 можно переписать как x < 2. То есть, x должно быть меньше 2.

Итак, корни уравнения, которые удовлетворяют неравенству x < 2, будут:

1. x = kπ/13, где k - целое число, такое что kπ/13 < 2
2. x = nπ, где n - целое число, такое что nπ < 2

Теперь мы можем найти, сколько корней удовлетворяют этим условиям. Важно учесть, что значения n и k ограничены снизу, так как sin(0) = 0, и мы исключаем деление на ноль.

Для первого случая (x = kπ/13):

kπ/13 < 2 k < 26/13

Значит, k может быть только 0 или 1.

Для второго случая (x = nπ):

nπ < 2 n < 2/π

Значит, n может быть только 0 или 1.

Таким образом, есть только два корня, которые удовлетворяют исходному уравнению и неравенству 1/x > 1/2:

1. x = 0 (n = 0, k = 0)
2. x = π/13 (n = 0, k = 1)

Итак, уравнение sin(4x)sin(8x) - sin(5x)sin(9x) = 0 имеет два корня, удовлетворяющих данному неравенству.