Question

Найти частное решение уравнения: y''+6y'+9y=0; y=1 и y'=2 при х=0

Answer 1

Ответ:

Частное решение

$y=e^{-3x}+5*x*e^{-3x}$

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Answer 2

Уравнение, которое вы представили, является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с constoefficients, и его можно решить с помощью характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение:

Для нашего уравнения характеристическое уравнение имеет вид:

r^2 + 6r + 9 = 0

Чтобы решить это уравнение, можно использовать квадратное уравнение или заметить, что оно может быть факторизовано:

(r + 3)^2 = 0

Отсюда следует, что у нас есть один кратный корень r = -3.

Общее решение:

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

y(x) = C1 * e^(r1x) + C2 * x * e^(r2x)

где C1 и C2 - произвольные константы, а r1 и r2 - корни характеристического уравнения.

В нашем случае, у нас есть один кратный корень r = -3, поэтому решение примет вид:

y(x) = C1 * e^(-3x) + C2 * x * e^(-3x)

Частное решение:

Теперь, чтобы найти частное решение, учитывая начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 2, мы можем подставить эти значения в общее решение и решить систему уравнений для нахождения C1 и C2.

Подставляя x = 0, получаем: y(0) = C1 * e^(0) + C2 * 0 * e^(0) = C1 = 1

Подставляя x = 0 в производную от y(x), получаем: y'(0) = -3C1 * e^(0) + C2 * 1 * e^(0) = -3C1 + C2 = 2

Теперь, используя найденное значение C1 = 1, мы можем решить второе уравнение: -3 * 1 + C2 = 2 C2 = 5

Таким образом, частное решение уравнения y'' + 6y' + 9y = 0 с начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 2 равно:

y(x) = e^(-3x) + 5x * e^(-3x)