Question

Найдите первообразную функции f(x) = 10х^4 +х, значение которой при х=0 равно 6.

Answer 1

Ответ:

$F(x) = 2x^5+\frac{x^2}{2}+6$

Пошаговое объяснение:

Первообразные функции f(x) имеют вид

F(x) = $2x^5 + \frac{x^2}{2} + C,$ где С - произвольная константа, так как производная F(x) во всех точках x равна f(x).

F(0) = 6 => $2 \cdot 0 + 0 + C = 6 => C = 6 => F(x) = 2x^5+\frac{x^2}{2}+6$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 10x^4 + x, значение которой при x = 0 равно 6, мы можем использовать определение первообразной функции и интеграл. Первообразная функции F(x) будет удовлетворять следующему условию:

F(0) = 6

Теперь, чтобы найти F(x), мы интегрируем f(x):

∫(10x^4 + x) dx = 10∫x^4 dx + ∫x dx

Вычислим каждый из интегралов:

∫x^4 dx = (10/5)x^5 + C1 = 2x^5 + C1

∫x dx = (1/2)x^2 + C2

Теперь соберем все части вместе:

F(x) = 2x^5 + 1/2 * x^2 + C

Теперь мы можем использовать условие F(0) = 6, чтобы найти константу C:

F(0) = 2 * 0^5 + 1/2 * 0^2 + C = 0 + 0 + C = C

Из условия F(0) = 6, мы знаем, что C = 6. Таким образом, первообразная функции f(x) равна:

F(x) = 2x^5 + 1/2 * x^2 + 6