Question

Помогите пожалуйста с решением. Покажите, что для любых , a,b ∈R верно „неравенство треугольника“: | |a|-|b| | ≤ |a-b| ≤ |a|+|b| .

Answer 1

Ответ:

см. на рисунке

Пошаговое объяснение:

раскрываем модули.

получаем, что a,b €R

Answer 2

Для доказательства неравенства треугольника, нужно рассмотреть все возможные случаи относительно знаков a и b.

1) Если a и b оба положительные или оба отрицательные числа, то неравенство треугольника выполняется автоматически. Например, если a > 0 и b > 0, то |a - b| = a - b, |a| = a и |b| = b. Тогда неравенство можно записать как a - b ≤ a + b, что верно.

2) Если a положительное число, а b отрицательное число, то |a - b| = a - (-b) = a + b, |a| = a и |b| = -b. Тогда неравенство можно записать как a + b ≤ a + (-b), что верно.

3) Если a отрицательное число, а b положительное число, то |a - b| = (-a) - b = -(a + b), |a| = -a и |b| = b. Тогда неравенство можно записать как -(a + b) ≤ -a + b, что верно.

Таким образом, во всех возможных случаях неравенство треугольника выполняется.