Question

Знайти проміжки зростання спадання та екстремуми функції х2-х

Answer 1

$f(x)=x^2-x\\f'(x)=2x-1=0\\x=0,5$

Функція зростає на проміжку: (0,5; +∞)

Функція спадає на проміжку: (-∞; 0,5)

x = 0,5 - точка мінімуму

Answer 2

Для того, щоб знайти проміжки зростання, спадання та екстремуми функції $f(x) = x^2 - x$, спростимо завдання, знаходячи похідну цієї функції та встановивши її значення рівними нулю для знаходження критичних точок.

1. Знаходження похідної $f'(x)$:

$f(x) = x^2 - x$

$f'(x) = 2x - 1$

2. Встановимо $f'(x) = 0$ та знайдемо критичні точки:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Отже, $x = \frac{1}{2}$ є критичною точкою.

3. Для визначення проміжків зростання та спадання розділімо числову пряму на три інтервали: $(-\infty, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, \infty)$ та саму точку $\frac{1}{2}$.

4. Візьмемо довільну точку з кожного інтервалу і визначимо знак $f'(x)$ на цих інтервалах:

   • Для $x < \frac{1}{2}$, виберемо, наприклад, $x = 0$, тоді $f'(0) = 2(0) - 1 = -1$. Тобто, на цьому інтервалі $f(x)$ спадає.
   • Для $x > \frac{1}{2}$, виберемо, наприклад, $x = 1$, тоді $f'(1) = 2(1) - 1 = 1$. Тобто, на цьому інтервалі $f(x)$ зростає.

5. Тепер визначимо значення функції $f(x)$ в критичній точці $x = \frac{1}{2}$:

$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

Таким чином, функція має екстремум у точці $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.

Отже, ми знайшли такі проміжки:

• Функція спадає на інтервалі $(-\infty, \frac{1}{2})$.
• Функція зростає на інтервалі $(\frac{1}{2}, \infty)$.
• Є екстремум в точці $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.