Question

Прямая a пересекает плоскость β в точке C и образует с плоскостью угол 60°. P∈a, точка R — проекция точки P на плоскость β. PC=10 см. Найди RC.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

5 так как мы получаем катет RCпротиволежащим углу 30 градусов и он равен половине гипотенузыPC

Которая равна 10

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами прямых и плоскостей.

Из условия задачи известно, что прямая a пересекает плоскость β в точке c и образует с плоскостью угол 60°. Из этого можно сказать, что вектор, направленный вдоль прямой a, будет составлять угол 60° с нормалью к плоскости β.

Пусть вектор â есть единичный направляющий вектор прямой a, а n̂ есть единичный нормальный вектор плоскости β. Тогда, так как прямая a образует с плоскостью β угол 60°, имеем:

cos(60°) = (â · n̂) (1)

Так как â является единичным вектором, он можно представить в виде:

â = (cos α, sin α) (2)

где α — угол наклона прямой a к плоскости β.

Также, для вектора n̂ представим его в виде:

n̂ = (cos β, sin β, 0) (3)

Так как плоскость β имеет точку c, воспользуемся уравнением плоскости, чтобы найти вектор n̂. Из уравнения плоскости β получаем:

n̂ · c = d (4)

где d — расстояние от начала координат до плоскости β.

Так как p — проекция точки p на плоскость β, то вектор rc, направленный от точки p до точки c, будет лежать в плоскости β и перпендикулярен к нормальному вектору плоскости β. Это означает, что вектор rc будет представлять собой скалярное произведение вектора pc и вектора n̂:

rc = (pc · n̂) (5)

Исходя из представления векторов â и n̂, выразим их координаты через углы α и β:

â = (cos α, sin α) n̂ = (cos β, sin β, 0)

Воспользуемся формулой (1) для нахождения значения cos α:

cos α = cos(60°) · 1 = 1/2

Также, выразим координаты вектора pc через известные данные:

pc = (pcx, pcy) (6)

Выразим pcy через pcx с помощью теоремы Пифагора:

pcx^2 + pcy^2 = pc^2 pcy^2 = pc^2 - pcx^2 pcy = sqrt(pc^2 - pcx^2)

Теперь можем вычислить скалярное произведение pc и n̂:

pc · n̂ = (pcx, pcy) · (cos β, sin β, 0) = pcx · cos β + pcy · sin β

Зная значения pcx, pcy, cos β и sin β (через угол β), можем найти значение rc согласно формуле (5).