Question

Через концы диаметра AB к окружности проведены две касательные AM и BN. Третья касательная пересекает первые две в точках C и D так, что C принадлежит AM, а D принадлежит BN. Найдите радиус окружности, если CA=2√3, DB=√3

Answer 1

Ответ:

r=√6

Пошаговое объяснение:

∠KDO=∠BDO=x, ∠KOD=∠DOB=90-x

∠AOK=180-90+x-90+x=2x

∠AOC=∠COK=x

∠COD=∠COK+∠KOD=90-x+x=90

ΔCOD-прямоугольный, OK=r-высота

OK²=KD*CK

AC=CK=2√3,   BD=DK=√3

OK²=2√3*√3=6

OK=r=√6

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства касательных и окружностей.

1. Начнем с того, что касательная, проведенная к окружности из точки, является перпендикулярной радиусу, проведенному в той же точке. Таким образом, мы можем провести радиусы AC и BD, которые будут перпендикулярны касательным AM и BN соответственно.

2. Мы знаем, что CA = 2√3 и DB = √3. Также, диаметр AB является суммой CA и DB, то есть AB = CA + DB = 2√3 + √3 = 3√3.

3. Рассмотрим треугольник ABC. Этот треугольник - прямоугольный треугольник, так как AC и AB - это радиус и диаметр, соответственно, и они перпендикулярны. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину BC:

BC^2 = AB^2 - AC^2 BC^2 = (3√3)^2 - (2√3)^2 BC^2 = 27 - 12 BC^2 = 15

BC = √15

4. Теперь мы знаем длину BC, которая также является радиусом окружности. Таким образом, радиус окружности равен √15.

Итак, радиус окружности равен √15.