Question

Составить уравнение касательной к кривой y=sin3x в точке (пи/3; 0)

Answer 1

$y = \sin(3x)$

Найдём производную у' данной функции:

$y' = ( \sin(3x) )' = 3 \cos(3x)$

Общая формула касательной к графику в точке а:

$k = f'(a)(x - a) + f(a)$

Подставляем известные нам величины:

$y'( \frac{\pi}{3} ) = 3 \cos( \frac{3\pi}{3} ) = 3 \cos(\pi) = - 3 \\ y( \frac{\pi}{3} ) = \sin( \frac{3\pi}{3} ) = \sin(\pi) = 0$

Тогда уравнение касательной в данной точке:

$k = - 3(x - \frac{\pi}{3} ) + 0 \\ k = - 3x + \frac{3\pi}{3} \\ k = - 3x + \pi$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = sin(3x) в точке (π/3, 0), мы можем использовать производную функции y = sin(3x) и формулу для уравнения касательной.

1. Найдем производную функции y = sin(3x). Для этого используем правило цепочки (chain rule), так как у нас есть композиция функций sin(3x) и 3x: y' = d/dx[sin(3x)] = cos(3x) * d/dx[3x] = 3cos(3x).

2. Теперь найдем значение производной в точке (π/3): y'(π/3) = 3cos(3(π/3)) = 3cos(π) = -3.

3. Теперь у нас есть наклон (производная) касательной в точке (π/3, 0), который равен -3. Для уравнения касательной мы можем использовать точку-наклонную формулу (point-slope form): y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - это точка, в данном случае (π/3, 0), m - наклон касательной, который равен -3.

Подставляя значения, получим: y - 0 = -3(x - π/3).

4. Упростим уравнение: y = -3(x - π/3).

Таким образом, уравнение касательной к кривой y = sin(3x) в точке (π/3, 0) имеет вид: y = -3(x - π/3).