Question

Дан треугольник АВС координатами своих вершин. а) записать уравнения стороны АС этого треугольника в различных формах (см методические указания), указать координаты направляющего и нормального векторов этой прямой; б) записать уравнения медианы к стороне АВ и высоты к стороне АС; в) записать уравнение прямой параллельной стороне АС, проходящей через вершину В треугольника. Выполнить соответствующие построения на координатной плоскости. ВАРИАНТ 3. А (4;2) В (0;-6) С (-4;-2)

Answer 1

Даны вершины треугольника А (4;2), В (0;-6), С (-4;-2).

1) Уравнение стороны АС этого треугольника в различных формах, координаты направляющего и нормального векторов этой прямой.

Направляющий вектор АС = (-4-4; -2-2) = (-8; -4).

Каноническое уравнение АС: (х - 4)/(-8) = (у - 2)/(-4).

Общее: -4х + 16 = -8у + 16,

              -4x + 8y = 0,    x - 2y = 0,

С угловым коэффициентом   у = (1/2)х.

Если прямую линию на плоскости определяет общее уравнение прямой , то коэффициенты А и B представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

Для стороны АС общее уравнение   x - 2y = 0, значит, нормальный вектор к стороне АС имеет координаты (1; -2).

б) Уравнения медианы к стороне АВ и высоты к стороне АС.

Точка С2 как середина АВ имеет координаты:

С2 = (4+0)/2; (2-6)/2) = (2; -2). Вектор СС2 = (2+4; -2+2) = (6; 0).

Вектор медианы СС2 имеет координату по у, равную 0, поэтому это горизонтальная линия. Её уравнение у = -2 (у точек С и С2 у = -2).

Для высоты к стороне АС используем свойство: угловой коэффициент к = -1 / к(АС) = -1 / (1/2) = -2.

Тогда уравнение высоты к АС имеет вид у = 2х - 6 с учётом координат точки В.

в) Уравнение прямой параллельной стороне АС, проходящей через вершину В треугольника.

Эта прямая имеет угловой коэффициент такой же, как и сторона АС.

у = (1/2)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки В. -6 = (1/2)*0 + в. Отсюда в = -6. Получаем уравнение у = (1/2)х - 6.

Answer 2

Уравнение стороны AC

Для записи уравнения стороны AC треугольника в различных формах, мы можем использовать различные методы. В данном случае, мы можем использовать координаты вершин A (4,2) и C (-4,-2) для определения уравнения прямой, проходящей через эти точки.

# Уравнение в общем виде

Уравнение прямой в общем виде имеет следующий вид:

Ax + By + C = 0

где A, B и C - это коэффициенты уравнения, а x и y - переменные координаты точек на прямой.

# Направляющий вектор

Направляющий вектор прямой AC можно найти, вычислив разность координат вершин A и C:

AC = C - A = (-4, -2) - (4, 2) = (-8, -4)

# Нормальный вектор

Нормальный вектор прямой AC можно найти, перпендикуляризируя направляющий вектор:

n = (B, -A) = (-4, -8)

# Уравнение в координатной форме

Уравнение прямой AC в координатной форме может быть записано, используя координаты вершин A и C:

y - y₁ = m(x - x₁)

где (x₁, y₁) - координаты одной из вершин, m - угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент m можно найти, используя разность координат вершин A и C:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (2 - (-2)) / (4 - (-4)) = 4/8 = 1/2

Теперь мы можем выбрать одну из вершин (например, A) и записать уравнение:

y - 2 = (1/2)(x - 4)

или, раскрывая скобки:

y - 2 = (1/2)x - 2

# Уравнение в нормализованной форме

Уравнение прямой AC в нормализованной форме имеет следующий вид:

x cos(θ) + y sin(θ) - p = 0

где (p, θ) - полярные координаты точки на прямой.

Нормализованное уравнение можно получить, используя направляющий вектор и нормальный вектор:

n = (B, -A) = (-4, -8)

p = -n · A = (-4, -8) · (4, 2) = -4*4 + -8*2 = -16 - 16 = -32

θ = atan2(B, A) = atan2(-8, -4) = atan2(2, 1) ≈ 63.43°

Теперь мы можем записать уравнение:

x cos(63.43°) + y sin(63.43°) + 32 = 0

Уравнение медианы и высоты

# Уравнение медианы к стороне AB

Медиана треугольника - это линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения уравнения медианы к стороне AB, нам нужно найти середину стороны AB и использовать эту точку вместе с вершиной C для записи уравнения прямой.

Середина стороны AB может быть найдена, используя координаты вершин A и B:

M = (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 = (4 + 0) / 2, (2 + (-6)) / 2 = 2, -2

Теперь мы можем записать уравнение, используя точки M (2, -2) и C (-4, -2):

y - y₁ = m(x - x₁)

где (x₁, y₁) - координаты одной из вершин (например, C), m - угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент m можно найти, используя координаты точек M и C:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-2 - (-2)) / (2 - (-4)) = 0/6 = 0

Теперь мы можем записать уравнение:

y - (-2) = 0(x - 2)

или просто:

y + 2 = 0

# Уравнение высоты к стороне AC

Высота треугольника - это линия, проходящая через вершину треугольника и перпендикулярная к противоположной стороне. Для нахождения уравнения высоты к стороне AC, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через вершину B и перпендикулярной к стороне AC.

Уравнение перпендикулярной прямой может быть записано, используя координаты вершины B и нормальный вектор прямой AC:

n = (B, -A) = (-4, -8)

Уравнение прямой:

-4x - 8y + c = 0

Теперь мы можем использовать координаты вершины B (0, -6), чтобы найти константу c:

-4*0 - 8*(-6) + c = 0

c = 48

Теперь мы можем записать уравнение:

-4x - 8y + 48 = 0

Уравнение прямой параллельной стороне AC через вершину B

Уравнение прямой параллельной стороне AC и проходящей через вершину B может быть записано, используя координаты вершины B и нормальный вектор прямой AC:

n = (B, -A) = (-4, -8)

Уравнение прямой:

-4x - 8y + c = 0

Теперь мы можем использовать координаты вершины B (0, -6), чтобы найти константу c:

-4*0 - 8*(-6) + c = 0

c = 48

Теперь мы можем записать уравнение:

-4x - 8y + 48 = 0

Построение на координатной плоскости

Чтобы выполнить построение на координатной плоскости, мы можем использовать найденные уравнения прямых и координаты вершин треугольника. Для каждого уравнения, мы можем выбрать несколько значений x и вычислить соответствующие значения y, чтобы получить точки, через которые проходят прямые.

Ниже приведены построения для каждого уравнения:


На графике выше, зеленая линия представляет сторону AC треугольника, оранжевая линия - медиану к стороне AB, синяя линия - высоту к стороне AC, а фиолетовая линия - прямую параллельную ст