Question

Доведіть, що для будь-яких значень змінних виконується нерівність: 1) (4a – 1)(4a + 1) (5a-7)2 ⩽ 14(5a-1) + b2, 2) -x2 - 9у2- 2х-6у-2 ⩽ 0.

Answer 1

2) розв'язання.

1) перевiрити умову, бо воно виконуэ"ться не при всiх значеннях а та b.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что неравенство выполняется для любых значений переменных, нужно рассмотреть оба неравенства по отдельности и доказать их справедливость.

1) (4a - 1)(4a + 1) + (5a - 7)^2 ≤ 14(5a - 1) + b^2

Для начала раскроем скобки и упростим выражение:

(16a^2 - 1) + (25a^2 - 70a + 49) ≤ 70a - 14 + b^2

Соберём все слагаемые в одну часть и упростим:

41a^2 - 70a + 48 ≤ b^2 - 14

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2) -x^2 - 9y^2 - 2x - 6y - 2 ≤ 0

Раскроем скобки и упростим:

-x^2 - 2x - 9y^2 - 6y - 2 ≤ 0

Соберём все слагаемые в одну часть и упростим:

-x^2 - 2x - 9y^2 - 6y - 2 + x^2 + 2x + 9y^2 + 6y + 2 ≤ x^2 + 2x + 9y^2 + 6y + 2

Теперь упростим левую и правую части:

0 ≤ x^2 + 2x + 9y^2 + 6y + 2

Таким образом, мы получили два неравенства:

1) 41a^2 - 70a + 48 ≤ b^2 - 14 2) 0 ≤ x^2 + 2x + 9y^2 + 6y + 2

Оба неравенства должны быть выполнены для любых значений переменных a, b, x и y, чтобы утверждение "для любых значений переменных выполняется неравенство" было верным.