Question

4^x^2+2(a+1)×2^x^2+4×a^2-3>0 знайти всі значення а, при яких нерівність виконується для будь-яких x

Answer 1

$4^{x^2}+2(a+1)\cdot 2^{x^2}+4a^2-3>0\\ \\ \left(2^{x^2}\right)^2+2(a+1)\cdot 2^{x^2}+(a+1)^2+4a^2-3-(a+1)^2>0\\ \\ \left(2^{x^2}+a+1\right)^2+4a^2-3-a^2-2a-1>0\\ \\ \left(2^{x^2}+a+1\right)^2+3a^2-2a-4>0$

Это неравенство верно для всех х, когда $3a^2-2a-4\geq0$

Решим уравнение $3a^2-2a-4=0$

$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-4)=52;~~~\sqrt{D}=2\sqrt{13}\\ \\ a_{1,2}=\dfrac{2\pm2\sqrt{13}}{2\cdot 3}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{3}$

При $a \in \left(-\infty;\dfrac{1-\sqrt{13}}{3}\right]\cup\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$ неравенство верно для всех х.

Answer 2

Щоб знайти всі значення a, при яких дана нерівність виконується для будь-яких x, спробуємо розглянути нерівність частинами і знайти умови для кожної частини, коли вона буде задовольняти нерівність.

Нерівність можна поділити на дві частини:

1. 4^x^2 + 2(a + 1) > 0
2. 2^x^2 + 4a^2 - 3 > 0

Почнемо з першої частини:

1. 4^x^2 + 2(a + 1) > 0

4^x^2 завжди буде невід'ємним числом, тому нам потрібно, щоб 2(a + 1) було більше 0.

2(a + 1) > 0 a + 1 > 0 a > -1

Таким чином, для першої частини нерівності, a має задовольняти умову a > -1.

Тепер перейдемо до другої частини:

2. 2^x^2 + 4a^2 - 3 > 0

Зауважимо, що 2^x^2 завжди буде невід'ємним числом. Тому нам потрібно, щоб 4a^2 - 3 було більше 0.

4a^2 - 3 > 0 4a^2 > 3 a^2 > 3/4 a > √(3/4) або a < -√(3/4)

Отже, для другої частини нерівності, a має задовольняти умову a > √(3/4) або a < -√(3/4).

Загалом, об'єднуючи умови з обох частин, ми отримуємо, що a має задовольняти умову a > -1 і a > √(3/4) або a < -√(3/4).

Отже, значення а, при яких нерівність виконується для будь-яких x, будуть такими, що задовольняють умови a > -1 і a > √(3/4) або a < -√(3/4).