Question

Y'''-y''=12x+10 как решать этот диф. ур. общее и частное решение

Answer 1

$\lambda^3-\lambda^2=0=>\lambda^2(\lambda-1)=0=>y_{oo}=(C_1+C_2x)+C_3e^x$

Будем искать частное решение в виде

$y=Bx^3+Cx^2\\ y'=3Bx^2+2Cx\\ y''=6Bx+2C\\ y'''=6B\\ 6B-(6Bx+2C)=12x+10\\ (-6B)x+(6B-2C)=12x+10\\ \left \{ {{-6B=12} \atop {6B-2C=10}} \right. => \left \{ {{B=-2} \atop {C=-11}} \right. =>y_{rH}=-2x^3-11x^2=>\\ y_0=(C_1+C_2x)+C_3e^x-2x^3-11x^2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала найдём его общее решение.

Для этого сначала найдём частное решение однородного уравнения Y''' - Y'' = 0. Подставим Y = e^(mx) в это уравнение:

(m^3 - m^2)e^(mx) = 0

Поскольку экспонента e^(mx) не равна нулю, получаем характеристическое уравнение:

m^3 - m^2 = 0

m^2(m - 1) = 0

Таким образом, m1 = 0 и m2 = 1 - корни характеристического уравнения.

Частное решение однородного уравнения будет иметь вид:

Yh = C1 + C2e^x + C3e^0

Yh = C1 + C2e^x + C3

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения Y''' - Y'' = 12x + 10. Предположим, что частное решение имеет вид Yp = Ax^2 + Bx + C. Подставим его в уравнение:

(6A - 2A)x^2 + (2A - 2B)x + (A - B + C) = 12x + 10

6A - 2A = 12, A = 2 2A - 2B = 0, B = A = 2 A - B + C = 10, C = B - A = 2 - 2 = 0

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Yp = 2x^2 + 2x

Общее решение исходного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Y = Yh + Yp

Y = C1 + C2e^x + C3 + 2x^2 + 2x

Это и будет общим решением данного дифференциального уравнения.