Question

При каких натуральных п число n!x(n+1)!x(n+2)! является точным кубом? n!, то есть произведение натуральных чисел от 1 до n ЧТО ТАКОЕ ТОЧНЫЙ КУБ?!???

Answer 1

Ответ:

Ни при каких

Пошаговое объяснение:

Точный куб - это третья степень натурального числа.

Разложим факториалы на множители, выделим n!

(n+1)! = n!*(n+1); (n+2)! = n!*(n+1)(n+2)

Подставляем в уравнение.

n!*(n+1)!*(n+2)! = a^3

n!*n!*(n+1)*n!*(n+1)(n+2) = a^3

(n!)^3*(n+1)^2*(n+2) = a^3

(n+1)^2*(n+2) = a^3 / (n!)^3 = (a/n!)^3

Мы получили, что произведение (n+1)^2*(n+2) является кубом натурального числа a/n!.

Но числа (n+1) и (n+2) - взаимно простые, то есть не имеют общих делителей. Поэтому они оба должны быть точными кубами, чтобы произведение (n+1)^2*(n+2) было кубом.

Но таких натуральных чисел нет.

Answer 2

Точный куб означает, что число является кубом некоторого целого числа. То есть, если число n! × (n+1)! × (n+2)! является точным кубом, это означает, что оно равно кубу некоторого целого числа.

Чтобы найти условия, при которых n! × (n+1)! × (n+2)! будет точным кубом, нужно рассмотреть его разложение на простые множители.

n! это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, и (n+1)! - произведение всех натуральных чисел от 1 до n+1. Таким образом, (n+1)! = n! × (n+1). Аналогично, (n+2)! = (n+1)! × (n+2).

Итак, n! × (n+1)! × (n+2)! = n! × [n! × (n+1)] × [n! × (n+1) × (n+2)].

Теперь разложим это выражение на простые множители:

n! × [n! × (n+1)] × [n! × (n+1) × (n+2)] = (n!)^3 × (n+1) × (n+2).

Для того чтобы это выражение было точным кубом, (n+1) и (n+2) должны быть точными кубами, так как n!^3 уже является точным кубом (n! возводится в куб).

Итак, для того чтобы n! × (n+1)! × (n+2)! было точным кубом, n+1 и n+2 должны быть точными кубами. Это произойдет, если n+1 = a^3 и n+2 = b^3, где a и b - натуральные числа.

Таким образом, условиями, при которых n! × (n+1)! × (n+2)! является точным кубом, являются n+1 = a^3 и n+2 = b^3, где a и b - натуральные числа.