Question

Помогите решить дифференцированное уравнение: y” + 4y = 0

Answer 1

$y''+4y=0\\ \lambda^2+4=0=>\lambda=\pm 2i\\ y=C_1cos(2x)+C_2sin(2x)$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка, y'' + 4y = 0, вы можете использовать метод характеристического уравнения. Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

r^2 + 4 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, вы можете использовать квадратное уравнение. Подставьте a = 1, b = 0 и c = 4 в формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 0 - 414 D = -16

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение имеет комплексные корни. Комплексные корни можно найти следующим образом:

r = (-b ± √D) / (2a) r = (0 ± √(-16)) / (2*1) r = (0 ± 4i) / 2

Таким образом, корни r равны r1 = 2i и r2 = -2i. Комплексные корни обозначают, что общее решение дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

y(t) = c1 * e^(2it) + c2 * e^(-2it)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь вы можете использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить это решение в более привычной форме. Используя формулу Эйлера:

e^(it) = cos(t) + i * sin(t)

и

e^(-it) = cos(t) - i * sin(t)

вы получите:

y(t) = c1 * (cos(2t) + i * sin(2t)) + c2 * (cos(-2t) - i * sin(-2t))

Упростите это уравнение:

y(t) = (c1 * cos(2t) + c2 * cos(-2t)) + i * (c1 * sin(2t) - c2 * sin(-2t))

Здесь c1 и c2 - произвольные постоянные, и это общее решение дифференциального уравнения y'' + 4y = 0.