Question

Вычесть площадь фигуры ограниченной заднными линиями y=8+2x-x^2 и y=x+6​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Рисунок с графиками функций в приложении.

Дано: F(x) = -x² + 2*x + 8,  y(x)=x+6

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

x²- x -2=0 - квадратное уравнение

b = 2 - верхний предел, a = -1 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  F(x) - y(x) = 2 + x - x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = 2*x + 1/2*x² - 1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(-1) = -2 + 1/2 + 1/3 = -1 1/6

S(b) = S(2) = 4 + 2 -2 2/3 = 3 1/3

 S = S(2)- S(-1)  = 4,5(ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными функциями, нужно найти точки их пересечения, что является точками пересечения графиков функций y = 8 + 2x - x^2 и y = x + 6.

Для этого приравняем уравнения и найдем значения x:

8 + 2x - x^2 = x + 6

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с использованием квадратного корня:

x = [1 ± sqrt(1 - 4(-2))] / 2 = [1 ± sqrt(9)] / 2 = [1 ± 3] / 2

Итак, у нас есть две возможные точки пересечения:

1. x = (1 + 3) / 2 = 2
2. x = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив эти значения x в оба уравнения:

1. Для x = 2:

   y = x + 6 = 2 + 6 = 8

   y = 8 + 2x - x^2 = 8 + 4 - 4 = 8

2. Для x = -1:

   y = x + 6 = -1 + 6 = 5

   y = 8 + 2x - x^2 = 8 - 2 + 1 = 7

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно взять интеграл от разности этих двух функций в пределах от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫[from -1 to 2] (8 + 2x - x^2 - (x + 6)) dx

= ∫[-1 to 2] (-x^2 + x + 2) dx

= [-x^3/3 + x^2/2 + 2x] from -1 to 2

= [(8/3 + 2 - 4) - (1/3 - 1/2 - 2)]

= [(-2/3 + 2 - 4) - (1/3 - 1/2 - 2)]

= [-8/3 - 1/6]

= -31/6

Таким образом, площадь фигуры ограниченной заданными линиями равна -31/6, что примерно равно -5.17 квадратных единиц.