Question

Найдите производные функцийy=x(x+2)y=(x+1)√x^2+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x(x+2)

По формуле (UV)'=U'V+UV'

y=x'(x+2) +x(x+2)' = x+2 +x = 2x+2

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций:

1. y = x(x+2)

Для нахождения производной этой функции по переменной x (dy/dx), мы можем использовать правило умножения:

y = x(x+2) y = x^2 + 2x

Теперь найдем производную:

dy/dx = d/dx(x^2 + 2x)

dy/dx = 2x + 2

Таким образом, производная функции y = x(x+2) равна 2x + 2.

2. y = (x+1)√(x^2+1)

Для нахождения производной этой функции по переменной x (dy/dx), мы воспользуемся правилом производной сложной функции. Первая функция - (x+1), а вторая функция - √(x^2+1).

Давайте обозначим первую функцию как u(x) = x+1 и вторую функцию как v(x) = √(x^2+1). Тогда:

y = u(x) * v(x)

Используя правило производной сложной функции (производная произведения функций), получаем:

dy/dx = u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x)

Теперь найдем производные u(x) и v(x):

u(x) = x+1 u'(x) = 1

v(x) = √(x^2+1) Чтобы найти производную v(x), воспользуемся цепным правилом (правило дифференцирования сложной функции):

v'(x) = (1/2) * (x^2+1)^(-1/2) * 2x v'(x) = x / √(x^2+1)

Теперь подставим значения u'(x) и v'(x) в формулу для dy/dx:

dy/dx = (x+1) * (x / √(x^2+1)) + 1 * √(x^2+1)

Упростим это выражение:

dy/dx = (x(x+1)) / √(x^2+1) + √(x^2+1)

Таким образом, производная функции y = (x+1)√(x^2+1) равна:

dy/dx = (x(x+1)) / √(x^2+1) + √(x^2+1)