Question

(1\4)^x<2 и 3^x>9 решите неравенства

Answer 1

(1/4)^x<(1/4)^(-1/2)

x<-1/2

3^x>3^2

x>2

Answer 2

Конечно, решим данную систему неравенств:

\[ \left(\frac{1}{4}\right)^x < 2 \] \[ 3^x > 9 \]

Начнем с первого неравенства \(\left(\frac{1}{4}\right)^x < 2\).

\(\left(\frac{1}{4}\right)^x < 2\) можно переписать в виде \(\frac{1}{4^x} < 2\), что эквивалентно \(4^x > \frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим второе неравенство \(3^x > 9\).

Заметим, что \(3^x\) увеличивается с ростом \(x\), поскольку \(3\) возводится в степень \(x\), и тем самым, для того чтобы \(3^x > 9\), необходимо, чтобы \(x > 2\), поскольку \(3^2 = 9\). Таким образом, \(x\) должно быть больше \(2\).

Теперь объединим оба условия:

1. \(4^x > \frac{1}{2}\) 2. \(x > 2\)

Для решения первого неравенства (\(4^x > \frac{1}{2}\)), возьмем логарифм от обеих сторон неравенства, чтобы избавиться от степени:

\(\log(4^x) > \log\left(\frac{1}{2}\)\) \(x \cdot \log(4) > \log\left(\frac{1}{2}\)\)

Используя свойство логарифмов \(\log(4) = 2\), \(\log\left(\frac{1}{2}\right) = -1\):

\(x \cdot 2 > -1\) \(x > -\frac{1}{2}\)

Таким образом, из первого неравенства \(4^x > \frac{1}{2}\), получаем, что \(x > -\frac{1}{2}\).

Из второго неравенства \(x > 2\), видно, что \(x\) должно быть больше 2.

Таким образом, общее решение системы неравенств будет \(x > 2\).