Question

Цветник имеет форму квадрата 2018 2018. Он поделён бордюрами, параллельными его сторонам, на квадратные клумбы размера 1 1. Изначально все клумбы пусты. Двое садовников играют в такую игру: каждый из них по очереди высаживает куст роз в центр одной из пустых клумб; их ходы чередуются. Выигрывает тот, после хода которого какие-то четыре куста роз будут располагаться в вершинах квадрата. Какой садовник выиграет при правильной игре первый или второй? ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Поделим квадрат 2018X2018 по горизонтали на два прямоугольника 1009X2018. Назовём квадрат с вершинами в серединах клеток правильным, если он делится этой прямой на две равные части. Назовём квадрат с вершинами в серединах клеток странным, если его стороны не параллельны сторонам клумбы, при этом странный квадрат не считается правильным ни при каких обстоятельствах. Степенью квадрата назовём количество уже поставленных кустов в его вершинах. Изначально степень всех квадратов равна нулю. Итак, стратегия:

Первый игрок своим ходом ставит куда-то куст.

1) Если при этом степень какого либо квадрата стала равна 3, то второй игрок ставит куст в последнюю вершину этого квадрата и выигрывает.

2) В противном случае, второй игрок ставит куст симметрично относительно прямой, которой делился на две равные части квадрат в самом начале. В таком случае, к степени некоторых неправильных (и странных) квадратов прибавляется 1 (с учётом хода первого игрока) (если прибавится 2, то квадрат правильный), а к степени некоторых правильных квадратов прибавляется 2 (с учётом хода первого игрока) (если прибавится 1, то квадрат неправильный (или странный)). Значит, после хода второго игрока не найдётся квадрата, степень которого была бы равна 3, иначе такой квадрат существовал и после хода первого игрока (пункт 1).

Так как второй игрок не проиграет, он выиграет.

Ответ: Выиграет второй игрок.

Answer 2

При правильной игре первый садовник выиграет.

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим возможные варианты для каждого хода. Первый садовник может выбрать любую из пустых клумб в центре цветника. После этого, второй садовник должен выбрать клумбу, которая будет создавать новый куст розы в вершине квадрата.

Возможные варианты для первого хода первого садовника: - Он может выбрать клумбу в верхнем левом углу цветника. - Он может выбрать клумбу в верхнем правом углу цветника. - Он может выбрать клумбу в нижнем левом углу цветника. - Он может выбрать клумбу в нижнем правом углу цветника.

После первого хода первого садовника, второй садовник должен выбрать клумбу, которая будет создавать новый куст розы в вершине квадрата. Возможные варианты для второго хода второго садовника зависят от выбранной клумбы первым садовником.

Возможные варианты для второго хода второго садовника: - Если первый садовник выбрал клумбу в верхнем левом углу, второй садовник должен выбрать клумбу в нижнем правом углу. - Если первый садовник выбрал клумбу в верхнем правом углу, второй садовник должен выбрать клумбу в нижнем левом углу. - Если первый садовник выбрал клумбу в нижнем левом углу, второй садовник должен выбрать клумбу в верхнем правом углу. - Если первый садовник выбрал клумбу в нижнем правом углу, второй садовник должен выбрать клумбу в верхнем левом углу.

В любом из этих вариантов, после второго хода второго садовника, в вершинах квадрата будет находиться только три куста розы, а не четыре. Таким образом, первый садовник всегда сможет выиграть, если будет играть правильно.