Question

Тема интегралов, как-то нужно решить y'=(2/y)-2, расписал y как dy/dx и встрял, помогите пожалуйста

Answer 1

$y'=\frac{2}{y}-2\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{2-2y}{y}\\\\\frac{y\, dy}{-2(y-1)}=dx\\\\-\frac{1}{2}\int \frac{y\, dy}{y-1}=\int dx\\\\-\frac{1}{2}\int (1+\frac{1}{y-1})dy=\int dx\\\\-\frac{1}{2}(y+ln|y-1|)=x+C\\\\y+ln|y-1|=-2x-2C\; ,\; \; -2C=C_1\\\\\underline {y+ln|y-1|=C_1-2x}$

Answer 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение $y' = \frac{2}{y} - 2$, можно воспользоваться методом разделяющих переменных. Давайте проделаем несколько шагов:

1. Начнем с исходного уравнения: $y' = \frac{2}{y} - 2$

2. Умножим обе стороны уравнения на $y$ для того, чтобы избавиться от дроби: $y \cdot y' = 2 - 2y$

3. Теперь разделим переменные, переместив все члены, содержащие $y$, в одну сторону, а все члены, содержащие $x$, в другую сторону: $y \, dy = (2 - 2y) \, dx$

4. Разделим обе стороны на $(2 - 2y)$ для изоляции переменных: $\frac{dy}{2 - 2y} = dx$

5. Разложим знаменатель на два множителя: $\frac{dy}{2(1 - y)} = dx$

6. Далее, интегрируем обе стороны. Левую сторону можно проинтегрировать с использованием метода частных дробей: $\int\frac{1}{2(1 - y)}\,dy = \int dx$

   Результатом интегрирования будет: $-\frac{1}{2}\ln|1 - y| = x + C$

7. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон, чтобы избавиться от натурального логарифма: $e^{-\frac{1}{2}\ln|1 - y|} = e^{x + C}$

   Это приводит нас к: $|1 - y| = e^{x + C}$

8. Мы можем проигнорировать модуль, так как $e^{x + C}$ всегда положительно. Теперь выразим $y$: $1 - y = e^{x + C}$

9. Для упрощения уравнения можно заменить $e^{C}$ на другую константу $K$: $1 - y = Ke^x$

10. И, наконец, выразим $y$: $y = 1 - Ke^x$

Это и есть решение дифференциального уравнения $y' = \frac{2}{y} - 2$. Здесь $K$ - произвольная постоянная, которую можно найти, если у вас есть начальное условие или дополнительные данные.