Question

Найдите наибольшее целое решение неравенства ㏒₃(x-2)<㏒₉(x+10)

Answer 1

$log_{3}(x - 2) < log_{9}(x + 10) \\ log_{3}(x - 2) < log_{ {3}^{2} }(x + 10) \\ log_{3}(x - 2) < \frac{1}{2} log_{3}(x + 10) \\ log_{3}(x - 2) < log_{3} {(x + 10)}^{ \frac{1}{2} } \\ log_{3}(x - 2) < log_{3} \sqrt{x + 10} \\ x- 2 < \sqrt{x + 10} \\ \sqrt{x + 10} > x - 2 \\ x + 10 > {x}^{2} - 4x + 4 \\ {x}^{2} - 5x - 6 < 0 \\ d = {b}^{2} - 4ac = 25 - 4 \times ( - 6) = 25 + 24 = 49 \\ x1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ x2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1 \\ (x - 6)(x + 1) < 0$
ОДЗ:
$x - 2 > 0 \\ x > 2 \\ \\ x + 10 > 0 \\ x > - 10$
=> х > 2.

Далее во вложении.

Наибольшее целое решение -- 5.

Ответ: 5.

Answer 2

Для начала, воспользуемся свойствами логарифмов:

1. lgₐ(bc) = lgₐb + lgₐc 2. lgₐ(b/c) = lgₐb - lgₐc 3. lgₐ(b^c) = c * lgₐb

Применим их к неравенству:

㏒₃(x-2) < ㏒₉(x+10)

Перепишем логарифмы в виде степеней:

3^(㏒₃(x-2)) < 9^(㏒₉(x+10))

Применим свойство 3:

(x-2) < ((x+10)^2/3)

Упростим:

(x-2) < ((x+10)^(2/3))

Теперь возведём в куб обе стороны неравенства:

(x-2)^3 < (x+10)^2

Раскроем скобки:

x^3 - 6x^2 + 12x - 8 < x^2 + 20x + 100

Получим кубическое уравнение:

x^3 - 7x^2 - 8x - 108 < 0

Данное уравнение сложно точно решить аналитически, поэтому воспользуемся графическим методом или численными методами для поиска его решений.

Мы должны найти наибольшее целое решение неравенства, поэтому начнём проверять значения x, начиная с большего, пока неравенство не перестанет выполняться. Найдя такое значение x, мы сможем сказать, что все значения x больше этого не будут являться решениями.

Таким образом, мы не можем дать конкретный численный ответ без дополнительных расчётов или определения графика функции.