Question

Найдите промежутки возрастания и убывания f(x)=x^3+ x^2-5x-3

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 3, мы должны найти её производную и найти значения x, при которых производная положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает). Эти значения x будут границами промежутков.

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x^2 + 2x - 5.

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 + 2x - 5 = 0.

Это уравнение квадратное, и его корни можно найти с помощью дискриминанта:

D = 2^2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64.

Теперь используем формулу квадратного корня:

x = (-2 ± √64) / (2 * 3) = (-2 ± 8) / 6.

Это дает нам два значения x:

a) x1 = (8 - 2) / 6 = 6 / 6 = 1. b) x2 = (-8 - 2) / 6 = -10 / 6 = -5/3.

Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x1 = 1 и x2 = -5/3.

3. Теперь мы можем выбрать тестовую точку в каждом из трех интервалов: x < -5/3, -5/3 < x < 1 и x > 1, чтобы определить, является ли производная положительной или отрицательной на каждом интервале.

a) Возьмем x = -2 (меньше -5/3): f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 - 5 = -2 (отрицательное).

b) Возьмем x = 0 (-5/3 < x < 1): f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 (отрицательное).

c) Возьмем x = 2 (больше 1): f'(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 16 - 5 = 11 (положительное).

Итак, теперь мы знаем, что:

• f(x) убывает на интервале x < -5/3,
• f(x) убывает на интервале -5/3 < x < 1,
• f(x) возрастает на интервале x > 1.

Таким образом, промежутки убывания функции находятся в интервалах x < -5/3 и -5/3 < x < 1, а промежуток возрастания находится в интервале x > 1.