Question

Найдите наименьшее значение функции f(x) =x^3+5x^2+7x-4 на отрезке [-2;0]

Answer 1

Находим производную, приравниваем её к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.

На промежутках находим знаки производной

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Производная равна: y' = 3x^2+10x+7.

Приравниваем её нулю:

3x^2+10x+7 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=10^2-4*3*7=100-4*3*7=100-12*7=100-84=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√16-10)/(2*3)=(4-10)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1;

x_2=(-√16-10)/(2*3)=(-4-10)/(2*3)=-14/(2*3)=-14/6 = -(7/3) ≈ -2.33333.

x =  -3         -2,33333       -2         -1              0
y' =   4              0              -1          0              7

·       Минимум функции в точке: х = -1,

·       Максимум функции в точке: х = -7/3.

   

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = x^3 + 5x^2 + 7x - 4$ на отрезке $[-2; 0]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 + 10x + 7$

2. Решите уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек функции:

$3x^2 + 10x + 7 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или графически. Решения будут $x \approx -2.78$ и $x \approx -0.22$.

3. Проверьте, лежат ли эти критические точки внутри отрезка $[-2; 0]$. Оба значения $x$ находятся в этом интервале, поэтому они рассматриваются.

4. Вычислите значение функции $f(x)$ в критических точках и на граничных точках отрезка:

Для $x = -2.78$: $f(-2.78) = (-2.78)^3 + 5(-2.78)^2 + 7(-2.78) - 4 \approx -17.89$

Для $x = -0.22$: $f(-0.22) = (-0.22)^3 + 5(-0.22)^2 + 7(-0.22) - 4 \approx -4.83$

Для $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 + 5(-2)^2 + 7(-2) - 4 = -4$

Для $x = 0$: $f(0) = 0^3 + 5(0)^2 + 7(0) - 4 = -4$

Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 0]$ равно -17.89 и достигается при $x \approx -2.78$.