Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2-4 и у=0

Answer 1

S=2*∫(4-x²)*dx с пределами интегрирования x1=0 и x2=2. Находим первообразную: F(x)=2*∫(4-x²)*dx=8*∫dx-2*∫x²*dx=8*x-2/3*x³+C. Тогда S=F(x2)-F(x1)=F(2)-F(0)=16-16/3=32/3. Ответ: 32/3.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций, необходимо найти точки их пересечения и затем взять определенный интеграл от одной функции до другой. В данном случае у нас есть две функции: $y = x^2 - 4$ и $y = 0$. Точки пересечения можно найти, приравняв эти две функции друг к другу:

$x^2 - 4 = 0$

Решая это уравнение, мы получаем:

$x^2 = 4$

Откуда

$x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2$

Таким образом, мы имеем две точки пересечения: (-2, 0) и (2, 0). Поскольку функция $y = x^2 - 4$ находится над осью x в интервале $[-2, 2]$, мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл:

$S = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} = \left[\frac{2^3}{3} - 4(2)\right] - \left[\frac{(-2)^3}{3} - 4(-2)\right]$

$S = \left[\frac{8}{3} - 8\right] - \left[-\frac{8}{3} + 8\right] = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 = \frac{16}{3} - 16$

$S = -\frac{16}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4$ и $y = 0$ на интервале $[-2, 2]$, равна $-\frac{16}{3}$, что соответствует значению площади по модулю. Однако, так как площадь не может быть отрицательной, окончательный ответ равен $\frac{16}{3}$.