Question

1) Найдите координаты середины отрезка AB a)(2;5), B(4;1) b) A(-2;3), B(6;-1) 2) Найдите координаты точки B , если точка М является координатой середины отрезка АВ. a)(2; 1), M(3; 2) b) A(3; -1), M(-1; 1) 3) Найдите координаты середин сторон треугольника с вершинами A(0; 0), B(0; 4) и C(-6; 0) 4) a) Точки А(2;3) и C(4; 1) являются противоположными вершинами параллелограмма АВСD. Найдите координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма. b) Точки А(1; 3), B(2; 6) и C(5; 7) вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D

Answer 1

1)
 Сх = (Ах+Вх)/2 = (2+4)/2 = 3
Су=(Ау+Ву)/2 = (1+5)/2 = 3
С(3;3) - ОТВЕТ
2) Симметрия - расстояния от точки М до точки С равны.
Сх= Ах + 2*(Мх-Ах) = 2+2(3-2) = 4
Су= Ау+2*(Му-Ау) = 1+2-(3-2) = 3 
С(4;3) - ОТВЕТ
4а) - середина отрезка -  полусумма координат.
Ох =(Ах+Сх)/2 = (2+4)/2 = 3
Оу=(Ау+Су)/2 = (1+3)/2= 2
О(3;2) - ОТВЕТ
4б) Параллелограмм - АВ║CD и AD║BC. Параллельно - значит наклоны одинаковы, значит и разности координат равны.
Cx-Bx = 5-2 = 3 и Cy-By= 7-6 = 1 - нашли разности координат.
Теперь прибавили к координатам точки А.
Dx= Ax+3 = 1+3 =4
Dy=Ay+1 = 3+1 = 4
D(4;4) - ОТВЕТ 

Answer 2

1. Для нахождения координат середины отрезка AB используется средняя точка формула, которая находит среднее арифметическое координат точек A и B:

a) A(2;5), B(4;1): Средняя точка M имеет координаты ((2+4)/2, (5+1)/2) = (3, 3). Ответ: M(3;3).

b) A(-2;3), B(6;-1): Средняя точка M имеет координаты ((-2+6)/2, (3+(-1))/2) = (2, 1). Ответ: M(2;1).

2. Для нахождения координат точки B, если точка M является координатой середины отрезка AB, используется формула для координат средней точки:

a) M(3;2): Известно, что M это середина отрезка AB. Если A(x1, y1), B(x2, y2), то M имеет координаты ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Подставим M(3;2) и A в эту формулу: (3, 2) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) Теперь можем решить уравнения для x1 и x2, y1 и y2: 3 = (x1 + x2)/2 2 = (y1 + y2)/2

Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от деления: 6 = x1 + x2 4 = y1 + y2

b) M(-1;1): То же самое рассуждение применимо. Подставим M(-1;1) и A(3,-1) в формулу для координат средней точки: (-1, 1) = ((x1 + x2)/2, (-1 + y2)/2) Теперь решим уравнения: -1 = (x1 + x2)/2 1 = (-1 + y2)/2

Умножим оба уравнения на 2: -2 = x1 + x2 2 = -1 + y2

Теперь сложим второе уравнение с 1, чтобы избавиться от -1: 2 + 1 = y2 3 = y2

Теперь у нас есть x2 и y2: -2 = x1 + x2 3 = y2

Таким образом, координаты точки B в обоих случаях равны (-2, 3).

3. Для нахождения координат середины сторон треугольника с вершинами A(0;0), B(0;4) и C(-6;0), мы найдем середины каждой стороны:

Середина стороны AB: ((0+0)/2, (0+4)/2) = (0, 2)

Середина стороны BC: ((0+(-6))/2, (4+0)/2) = (-3, 2)

Середина стороны AC: ((0+(-6))/2, (0+0)/2) = (-3, 0)

Таким образом, координаты середин сторон треугольника ABC равны: M_AB(0, 2) M_BC(-3, 2) M_AC(-3, 0)

4. a) Точки A(2;3) и C(4;1) являются противоположными вершинами параллелограмма ABCD. Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, используем формулу для нахождения середины отрезка между этими точками:

Середина диагонали AC: ((2+4)/2, (3+1)/2) = (3, 2)

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD равны (3, 2).

b) Точки A(1;3), B(2;6) и C(5;7) являются вершинами параллелограмма ABCD. Чтобы найти координаты вершины D, используем свойство параллелограмма: диагонали параллельны и равны по длине. Поэтому D будет находиться на той же горизонтальной линии, что и C, и на той же вертикальной линии, что и B.

Координаты вершины D будут равны координатам C по горизонтали и координатам B по вертикали. Таким образом, координаты точки D равны (5, 6).