Question

Найдите наибольшее значение функции y=(1-x² )(х-1) на промежутке {0;2}

Answer 1

Y`=-2x(x-1)+1(1-x²)=2x²-2x+1-x²=x²-2x+1=(x-1)²=0
x-1=0
x=1∈[0;2]
y(0)=1*(-1)=-1
y(1)=0*0=0 наиб
y(2)=-3*1=-3

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции y = (1 - x²)(x - 1) на промежутке [0, 2], нужно сначала найти критические точки и затем определить, где функция достигает максимума.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = (1 - x²)(x - 1)' + (x - 1)(1 - x²)'

2. Вычислим производные: y'(x) = (1 - x²)(1) + (x - 1)(-2x) = 1 - x² - 2x² + 2x

3. Упростим выражение: y'(x) = -3x² + 2x + 1

4. Найдем критические точки, где производная равна нулю: -3x² + 2x + 1 = 0

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться квадратным уравнением:

5. Решим уравнение -3x² + 2x + 1 = 0: Дискриминант D = 2² - 4*(-3)1 = 4 + 12 = 16 x = (-2 ± √16) / (2(-3)) x = (-2 ± 4) / (-6)

Таким образом, получаем два значения x для критических точек: x₁ = (-2 + 4) / (-6) = 2/(-6) = -1/3 x₂ = (-2 - 4) / (-6) = -6/(-6) = 1

Теперь найдем значение функции в этих точках и на концах интервала [0, 2]:

6. Вычислим y(x) для x = -1/3, x = 1, x = 0 и x = 2:

   y(-1/3) = (1 - (-1/3)²)(-1/3 - 1) = (1 - 1/9)(-4/3) = (8/9)(-4/3) = -32/27 y(1) = (1 - 1²)(1 - 1) = 0 y(0) = (1 - 0²)(0 - 1) = -1 y(2) = (1 - 2²)(2 - 1) = (1 - 4)(1) = -3

Теперь сравним значения y в этих точках:

• y(-1/3) = -32/27
• y(1) = 0
• y(0) = -1
• y(2) = -3

Наибольшее значение функции на интервале [0, 2] - это 0, и оно достигается при x = 1.