Question

Множеством значений функции f(x)=(6/π arctg(3x)−1)^2−9 являетсяВыберите один ответ:[−9;−7][−9;−5][−9;−5)[−9;7)иное множество

Answer 1

Мы знаем, что область значения $\mathrm{arctg}x$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Если аргумент будет $3x$, то область значения не изменится. Так как мы умножаем на $\frac{6}{\pi}$, то область значения функции мы тоже умножим на это число, то есть область значения функции $\frac{6}{\pi}\mathrm{arctg}3x$ будет от $-3$ до $3$

Когда мы пишем $-1$, то тогда нашу функцию опускают на одну единицу вниз, то есть функция $\frac{6}{\pi}\mathrm{arctg}3x$ имеет облезлость значения от $-4$ до $2$. Когда мы возводим в квадрат, это значит, что всю отрицательную часть графика мы отражаем на положительную и возводим в квадрат то, что мы отражали. То есть $\left(\frac{6}{\pi}\mathrm{arctg}3x-1\right)^{2$} будет от (включительно ноль, так как ниже нуля опуститься не может, а нулю равняться может)

Осталась последняя часть, мы вычитаем $9$, а значит опускаем нашу функцию на $9$ единиц внизу, а значит наша функция имеет область значения от $-9$ до $7$ (включительно $-9$)

Answer 2

Для определения множества значений функции f(x), начнем с анализа функции:

f(x) = (6/π * arctg(3x) - 1)^2 - 9

Давайте разберемся поэтапно:

1. Функция arctg(3x) имеет значения в диапазоне от -π/2 до π/2 (или от -90 градусов до 90 градусов), так как арктангенс ограничен в этом диапазоне.

2. Множитель (6/π) не изменяет форму графика, но масштабирует его.

3. После умножения на (6/π), у нас остается выражение (6/π * arctg(3x) - 1), которое будет иметь значения в интервале:

[-6/π - 1, 6/π - 1]

4. Затем возведение в квадрат не изменяет знак выражения, но может увеличивать его значение.

5. Вычитание 9 также сдвигает значения на -9.

Итак, множество значений функции f(x) будет:

[(-6/π - 1)^2 - 9, (6/π - 1)^2 - 9]

Теперь, чтобы найти численные значения этого интервала, давайте вычислим квадраты и вычтем 9:

[(-6/π - 1)^2 - 9, (6/π - 1)^2 - 9]

Вычислим численные значения:

[(-6/π - 1)^2 - 9 ≈ -9.47, (6/π - 1)^2 - 9 ≈ -7.12]

Таким образом, множеством значений функции f(x) является интервал:

[-9.47, -7.12]

Поэтому правильный ответ: [−9.47, -7.12].