Question

Найдите и напишите, сколько существует неэквивалентных логических функций от четырех аргументов, которые при всевозможных входных значениях на выходе имеют всего три ложных результата? (Сколько есть логических функций от четырех переменных, у которых в таблице истинности всего три нуля?). Ответ запишите в виде десятичного числа. c объяснением пожалуйста

Answer 1

Общее количество неэквивалентных логических функций от четырёх аргументов = 2^(2^4) = 2^16 = 65536.Число функций,  у которых в таблице истинности только четыре истинных значения:Число сочетаний из n по k (из 16 по 4):C(n,k) = n! / ((n-k)!*k!) = 16! / ((16-4)!*4!) = 16! / (12!*4!) = 13*14*15*16 / (1*2*3*4) = 1820

Answer 2

Для понимания, сколько неэквивалентных логических функций от четырех аргументов можно создать, которые имеют всего три ложных результатов, мы можем использовать комбинаторику.

У нас есть 4 переменных (A, B, C, D), и для каждой переменной есть два возможных значения (0 или 1). Это означает, что у нас есть 2^4 = 16 различных входных комбинаций.

Теперь давайте рассмотрим, какие логические функции могут иметь ровно три ложных результата. Это означает, что в таблице истинности такой функции должно быть три значения 0 (ложь) и 13 значений 1 (истина).

Сколько существует способов выбрать 3 из 16 позиций, которые будут иметь значение 0? Мы можем использовать биномиальный коэффициент C(16, 3), что означает число способов выбрать 3 элемента из 16. Это равно:

C(16, 3) = 16! / (3!(16 - 3)!) = 16! / (3! * 13!) = (16 * 15 * 14) / (3 * 2 * 1) = 560

Теперь у нас есть 560 способов выбрать 3 позиции, в которых значения будут равны 0. Для каждой из этих комбинаций мы можем построить логическую функцию, присваивая остальным 13 позициям значение 1.

Итак, ответ на ваш вопрос - существует 560 неэквивалентных логических функций от четырех аргументов, которые при всевозможных входных значениях имеют всего три ложных результатa.