Question

Знайти частинні похідні першого порядку z=Incos x/y

Answer 1

$z=ln\, cos\frac{x}{y}\\\\z'_{x}=\frac{1}{cos\frac{x}{y}}\cdot (-sin\frac{x}{y})\cdot \frac{1}{y}=-\frac{1}{y}\cdot tg\frac{x}{y}\\\\z'_{y}=\frac{1}{cos\frac{x}{y}}\cdot (-sin\frac{x}{y})\cdot \frac{-x}{y^2}=\frac{x}{y^2}\cdot tg\frac{x}{y}$

Answer 2

Для знаходження частинних похідних першого порядку функції $z = \ln\left(\frac{\cos(x)}{y}\right)$ за $x$ та $y$, ми можемо використовувати правила похідних.

Почнемо з частинної похідної за $x$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \ln\left(\frac{\cos(x)}{y}\right)$$

Використаємо правило логарифма:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\frac{\cos(x)}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\cos(x)}{y}\right)$$

Зараз нам потрібно знайти похідну функції $\frac{\cos(x)}{y}$ за $x$. Використаємо правило ділення:

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\cos(x)}{y}\right) = \frac{y \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) - \cos(x) \cdot \frac{d}{dx}(y)}{y^2}$$

Похідна $\frac{d}{dx}(\cos(x))$ дорівнює -$\sin(x)$, і похідна $\frac{d}{dx}(y)$ дорівнює 0 (оскільки $y$ розглядається як константа у цьому контексті). Отже,

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\cos(x)}{y}\right) = \frac{y \cdot (-\sin(x)) - \cos(x) \cdot 0}{y^2} = -\frac{y\sin(x)}{y^2} = -\frac{\sin(x)}{y}$$

Тепер повертаємося до похідної за $x$ функції $z$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\frac{\cos(x)}{y}} \cdot \left(-\frac{\sin(x)}{y}\right) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$$

Тепер знайдемо частинну похідну за $y$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \ln\left(\frac{\cos(x)}{y}\right)$$

Знову використаємо правило логарифма:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\frac{\cos(x)}{y}} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\cos(x)}{y}\right)$$

Зараз ми знову знайдемо похідну функції $\frac{\cos(x)}{y}$ цього разу за $y$. Використовуючи правило ділення, отримуємо:

$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\cos(x)}{y}\right) = \frac{y \cdot \frac{d}{dy}(\cos(x)) - \cos(x) \cdot \frac{d}{dy}(y)}{y^2}$$