Question

Знайти частинні похідні першого та другого порядку z=6x^2y^2+x^4y^4+3xy-4x+5y^7+3

Answer 1

$z'_x=12xy^2+4x^3y^4+3y-4\\ z'_y=12x^2y+4x^4y^3+3x+35y^6\\ z''_{x^2}=12y^2+12x^2y^4\\ z''_{xy}=24xy+16x^3y^3+3=z''_{yx}\\ z''_{y^2}=12x^2+12x^4y^2+210y^5$

Answer 2

Щоб знайти частинні похідні першого та другого порядку функції z = 6x^2y^2 + x^4y^4 + 3xy - 4x + 5y^7 + 3, візьмемо похідну за кожною змінною окремо.

Часткова похідна за x: ∂z/∂x = ∂/∂x (6x^2y^2 + x^4y^4 + 3xy - 4x + 5y^7 + 3)

Для знаходження похідної за x, треба похіднувати кожен доданок окремо:

∂/∂x (6x^2y^2) = 12xy^2 ∂/∂x (x^4y^4) = 4x^3y^4 ∂/∂x (3xy) = 3y ∂/∂x (-4x) = -4 ∂/∂x (5y^7) = 0 (константа) ∂/∂x (3) = 0 (константа)

Тепер збережемо всі ці доданки разом: ∂z/∂x = 12xy^2 + 4x^3y^4 + 3y - 4

Часткова похідна за y: ∂z/∂y = ∂/∂y (6x^2y^2 + x^4y^4 + 3xy - 4x + 5y^7 + 3)

Для знаходження похідної за y, треба похіднувати кожен доданок окремо:

∂/∂y (6x^2y^2) = 12x^2y ∂/∂y (x^4y^4) = 4x^4y^3 ∂/∂y (3xy) = 3x ∂/∂y (-4x) = 0 (константа) ∂/∂y (5y^7) = 35y^6 ∂/∂y (3) = 0 (константа)

Тепер збережемо всі ці доданки разом: ∂z/∂y = 12x^2y + 4x^4y^3 + 3x + 35y^6

Часткові похідні другого порядку:

Для знаходження часткових похідних другого порядку треба взяти похідну від отриманих раніше часткових похідних за кожною змінною окремо.

Похідна другого порядку за x: ∂^2z/∂x^2 = ∂/∂x (12xy^2 + 4x^3y^