Question

Знайдіть найбільший цілий розвʼязок нерівності: -3x2 - 11x + 14 > 0; 2) 12x2 + 16x - 3 < 0.

Answer 1

Ответ: x > 1.

-3/2 < x < 1/6.

Answer 2

Давайте розглянемо кожну нерівність окремо:

1) -3x^2 - 11x + 14 > 0

Спочатку спростимо цю квадратну нерівність. Спростимо її, враховуючи діапазон значень x:

-3x^2 - 11x + 14 > 0

Для знаходження коренів рівняння -3x^2 - 11x + 14 = 0, використаємо квадратну формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = -3, b = -11, c = 14

x = (11 ± √((-11)^2 - 4(-3)(14))) / (2(-3))

x = (11 ± √(121 + 168)) / (-6)

x = (11 ± √289) / (-6)

x = (11 ± 17) / (-6)

Таким чином, ми маємо два корені:

x1 = (11 + 17) / (-6) = 28 / (-6) = -14/3 x2 = (11 - 17) / (-6) = -6 / (-6) = 1

Тепер ми можемо побудувати таблицю знаків для нерівності -3x^2 - 11x + 14 > 0, використовуючи ці корені та додатність/від'ємність фактору -3:

Зона 1: x < -14/3 Зона 2: -14/3 < x < 1 Зона 3: x > 1

В зоні 1 (-∞, -14/3) фактор -3 від'ємний, тобто -3x^2 - 11x + 14 від'ємний.

В зоні 2 (-14/3, 1) фактор -3 від'ємний, тобто -3x^2 - 11x + 14 від'ємний.

В зоні 3 (1, ∞) фактор -3 додатній, тобто -3x^2 - 11x + 14 додатній.

Отже, розв'язком нерівності -3x^2 - 11x + 14 > 0 є x на проміжку (1, ∞).

2) 12x^2 + 16x - 3 < 0

Спочатку спростимо цю квадратну нерівність. Для знаходження коренів рівняння 12x^2 + 16x - 3 = 0, використаємо квадратну формулу:

a = 12, b = 16, c = -3

x = (-16 ± √(16^2 - 4(12)(-3))) / (2(12))

x = (-16 ± √(256 + 144)) / 24

x = (-16 ± √400) / 24

x = (-16 ± 20) / 24

Таким чином, ми маємо два корені:

x1 = (-16 + 20) / 24 = 4 / 24 = 1/6 x2 = (-16 - 20) / 24 = -36 / 24 = -3/2

Тепер ми можемо побудувати таблицю знаків для нерівності 12x^2 + 16x - 3 < 0, використовуючи ці корені та додатність/від'ємність фактору 12:

Зона 1: x < -3/2 Зона 2: -3/2 < x < 1/6 Зона 3: x > 1/6

В зоні 1 (-∞, -3/2) фактор 12 від'ємний, тобто 12x^2 + 16x - 3 від'ємний.

В зоні 2 (-3/2, 1/6) фактор 12 від'ємний, тобто 12x^2 + 16x - 3 від'ємний.

В зоні 3 (1/6, ∞) фактор 12 додатній, тобто 12x^2 + 16x - 3 додатній.

Отже, розв'язком нерівності 12x^2 + 16x - 3 < 0 є x на проміжку (-3/2, 1/6).