Question

Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ если он проходит через точки A (√2;2) и B (2;√3)

Answer 1

Ответ:

Уравнение эллипса

$\displaystyle \bf \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$

Пошаговое объяснение:

Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки A (√2;2) и B (2;√3).

Так как в задаче не сказано про положение центра эллипса, будем считать, что находится в начале координат.

• Каноническое уравнение эллипса:

                           $\boxed {\displaystyle \bf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }$

Точки A (√2;2) и B (2;√3) принадлежат эллипсу.

⇒ Если подставить координаты точек в уравнение эллипса, получим верное равенство.

1)  A (√2;2)

$\displaystyle \frac{2}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$

2)  B√2;2)

$\displaystyle \frac{4}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1$

Выполним замену переменной.

Пусть 1/а² = m;   1/b² = n

Решим систему уравнений методом сложения:

$\displaystyle \left \{ {{2m+4n=1} \atop {4m+3n=1}} \right.$

Умножим первое уравнение на (-2) и сложим уравнения:

$\displaystyle +\begin{cases}-4m-8n=-2\\\underline{\;\;\;4m+3n=1 } \end{cases} \\\\\;~\hspace{20px}\;\;\;\;\;0 -5n=-1\\\\n = \frac{-1}{-5}\\\\n=\frac{1}{5}$

Подставим значение n в первое уравнение и найдем m:

$\displaystyle 2m+4\cdot \frac{1}{5} =1\\\\2m=1-\frac{4}{5} \;\;\;|:2\\\\m=\frac{1}{10}$

Выполним обратную замену:

1/а² = 1/10   ⇒   a² = 10

1/b² = 1/5   ⇒   b² = 5

Получим уравнение эллипса:

$\boxed {\displaystyle \bf \frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1 }$

#SPJ1

Answer 2

Уравнение эллипса с фокусами на оси OX имеет следующий вид:

$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$

где (±c, 0) - координаты фокусов, а a и b - полуоси эллипса, причем c > a.

Для нахождения уравнения эллипса, сначала найдем координаты фокусов.

Фокусы эллипса с фокусами на оси OX имеют координаты (±c, 0), где c - расстояние от центра эллипса до фокусов. Расстояние между фокусами равно 2c.

Известно, что эллипс проходит через точки A(√2, 2) и B(2, √3). Найдем расстояние между этими двумя точками:

$AB = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 2)^2}$

Теперь, найдем c:

$2c = AB$

$c = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 2)^2}$

Теперь у нас есть значение c. Теперь нам нужно найти значения a и b. Поскольку фокусы находятся на оси OX, то a > b.

Мы также знаем, что

$a^2 = c^2 + b^2$

Теперь мы можем найти b:

$b^2 = a^2 - c^2$

$b = \sqrt{a^2 - c^2}$

Теперь у нас есть значения c, a и b. Мы можем записать уравнение эллипса:

$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$

Вставим найденные значения a и b:

$\frac{{x^2}}{{(c^2 + b^2)}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1$

$\frac{{x^2}}{{(c^2 + (a^2 - c^2))}} + \frac{{y^2}}{{a^2 - c^2}} = 1$

$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{a^2 - c^2}} = 1$

Теперь вставим найденное значение c:

$\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{a^2 - \left(\frac{1}{2}\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 2)^2}\right)^2}} = 1$

Это и есть уравнение эллипса с фокусами на оси OX, проходящего через точки A(√2, 2) и B(2, √3).