Question

В каком отнощении делит объем пирамиды плос-кость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 2:3?

Answer 1

Відповідь:

Плоскость, параллельная основанию делит объем пирамиды отнощении 2:29,25 или 8:117.

Пояснення:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = ⅓ × S × H

где S – площадь основания,

H – высота пирамиды.

У нас есть две пирамиды:

1) верхняя пирамида ( над секущей плоскостью, параллельной основанию ), с высотой пропорциональной двум единицам, Н1 = 2;

2) нижняя, усеченная пирамида ( под секущей плоскостью, параллельной основанию ), с высотой пропорциональной 2 + 3 = 5 единицам, Н2 = 5.

Найдем объемы большой пирамиды и верхней ( малой ) пирамиды. Объем усеченной пирамиды найдем как разницу объемов этих двух пирамид.

Основанием пирамид являются подобные многоугольники ( поскольку основание верхней пирамиды параллельно основанию большой пирамиды.

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон ( или квадраты коэффициента подобия ).

S1/S2 = (A1/A2)²

где S1 – площадь основания, а A1 одна из сторон верхней ( малой ) пирамиды;

S2 – площадь основания, а A2 сходственная сторона большой пирамиды.

Отношение A1/A2 - это и есть коэффициент подобия многоугольников.

Примем А2 = 5 каким то единицам, тогда А1 = 2 таким же единицам ( так, как высоты пирамид относятся как 2:5 ).

S1/S2 = (A1/A2)² = (2/5)²

S2 = S1 × (5/2)² = S1 × 2,5² = 6,25 × S1

Объем верхней ( малой ) пирамиды:

V1 = ⅓ × S1 × H1 = ⅓ × S1 × 2

Объем большой пирамиды:

V2 = ⅓ × S2 × H2 = ⅓ × 6,25 × S1 × H2 = ⅓ × 6,25 × S1 × 5 = ⅓ × S1 × 31,25

Объем усеченной пирамиды:

Vу = V2 - V1 = ⅓ × S1 × ( 31,25 - 2 ) = ⅓ × S1 × 29,25

Найдем отнощение в котором делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию:

V1/Vу = ⅓ × S1 × 2 / ( ⅓ × S1 × 29,25 ) = 2 / 29,25 = 8 / 117

Answer 2

Если плоскость параллельная основанию делит высоту пирамиды в отношении 2:3, то она также делит объем пирамиды в том же отношении. Это можно понять из принципа подобия треугольных пирамид.

Допустим, что у нас есть пирамида с основанием, вершиной и высотой. Если плоскость параллельная основанию делит высоту пирамиды в отношении 2:3, то она разбивает высоту на две части, где одна часть равна 2/5 всей высоты, а другая часть равна 3/5 всей высоты.

Теперь, если мы рассмотрим две треугольные пирамиды, одну с вершиной в верхней точке высоты и другую с вершиной в нижней точке высоты, они будут подобными. Отношение их объемов будет равно кубу отношения их высот, так как объем пирамиды пропорционален кубу линейного масштаба. С учетом того, что высота одной пирамиды вдвое больше высоты другой, отношение их объемов также будет 2^3, то есть 8:1.

Следовательно, объем пирамиды, расположенной над плоскостью (включая верхний треугольник), будет 8 частями, а объем пирамиды ниже плоскости (включая нижний треугольник), будет одной частью. Их отношение будет 8:1.