Question

17 баллов! Найдите остаток при делении 36^99 на 5*37

Answer 1

Ответ:

Остаток при делении 36^99 на 5*37 равен 36.

Answer 2

Ответ: =1

Пошаговое объяснение:

5*37=185

36 =36(mod185)

36²=1(mod185)

=> при четных показателях степени 36 остаток будет 36, а при нечетных 1

99- есть нечетный показатель степени => остаток =1

Answer 3

Чтобы найти остаток при делении $36^{99}$ на $5 \cdot 37$, можно воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если $p$ - простое число, то для любого целого числа $a$, не кратного $p$, выполняется следующее:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

В данном случае, число 37 является простым числом, и 5 - взаимно просто с 37 (не имеет общих делителей, кроме 1). Таким образом, по малой теореме Ферма:

$36^{37-1} \equiv 1 \pmod{37}$

$36^{36} \equiv 1 \pmod{37}$

Теперь можно рассмотреть выражение $36^{99}$ следующим образом:

$36^{99} = (36^{36})^{2} \cdot 36^{27}$

Используя результат, полученный из малой теоремы Ферма, можно утверждать, что:

$36^{99} \equiv 1^{2} \cdot 36^{27} \pmod{37}$

Теперь остается найти $36^{27}$ по модулю 37. Мы можем упростить это дальше, заметив, что $36 \equiv -1 \pmod{37}$, потому что $36 - (-1)$ делится на 37 без остатка.

Таким образом,

$36^{27} \equiv (-1)^{27} \equiv -1 \pmod{37}$

Теперь мы знаем, что:

$36^{99} \equiv -1 \pmod{37}$

И остаток при делении $36^{99}$ на $5 \cdot 37$ равен -1.