Question

СРОЧНО! Решить дифференциальное уравнение 2(xy+y)y'+x(y^4+1)=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенное решение; зелёным отмечена необязательная часть.

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

Уравнение: 2(xy+y)y' + x(y^4 + 1) = 0

Сначала определимся с типом уравнения. Оно является уравнением первого порядка и не разрешено относительно производной y'. Мы можем попытаться преобразовать его в уравнение в разностях и затем решить.

Умножим оба члены уравнения на dx:

2(xy+y)y' dx + x(y^4 + 1) dx = 0

Теперь преобразуем это уравнение, выделив y' dx на левой стороне:

2(xy+y) y' dx = -x(y^4 + 1) dx

Теперь давайте разделим обе стороны на выражение с y и y':

(2xy + 2y) y' dx = -x(y^4 + 1) dx

(2xy + 2y) y' = -x(y^4 + 1)

Теперь давайте разделим обе стороны на (2xy + 2y):

y' = -x(y^4 + 1) / (2xy + 2y)

Теперь давайте вынесем общий множитель 2 из знаменателя:

y' = -x(y^4 + 1) / 2(y + 1)

Теперь это уравнение можно решить с помощью метода разделяющихся переменных. Давайте разделим переменные:

(2(y + 1)) / (y^4 + 1) dy = -x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(2(y + 1)) / (y^4 + 1) dy = -∫x dx

Левая сторона:

Используем частное от деления дроби (y + 1) / (y^4 + 1):

∫(2(y + 1)) / (y^4 + 1) dy = 2∫(1 - y^4) / (y^4 + 1) dy

Теперь мы можем провести замену переменных. Обозначим y^4 + 1 как t:

t = y^4 + 1 dt = 4y^3 dy

Тогда наше интеграл можно записать следующим образом:

2/4 ∫(1 - t) / t dt = 1/2 ∫(1 - t) / t dt

Интеграл 1/2 ∫(1 - t) / t dt можно решить как логарифмическую функцию:

1/2 ∫(1 - t) / t dt = 1/2 ∫(1/t - 1) dt = 1/2 (ln|t| - t) + C

Теперь вернемся к переменной y:

1/2 (ln|y^4 + 1| - (y^4 + 1)) + C = -∫x dx

Теперь проинтегрируем правую сторону:

-1/2 (ln|y^4 + 1| - (y^4 + 1)) = -1/2 (ln|y^4 + 1| + 1 - y^4) = -∫x dx

Интегрируя правую сторону, получим:

-1/2 (ln|y^4 + 1| + 1 - y^4) = -x^2/2 + D

Где D - постоянная интегрирования. Теперь давайте разрешим это уравнение относительно y:

-1/2 (ln|y^4 + 1| + 1 - y^4) = -x^2/2 + D

ln|y^4 + 1| + 1 - y^4 = -2(x^2/2 - D)

ln|y^4 + 1| + 1 - y^4 = -x^2 + 2D

Теперь можем выразить y^4 + 1:

ln|y^4 + 1| = -x^2 + 2D - 1 + y^4

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y^4 + 1| = e^(-x^2 + 2D - 1 + y^4)

Так как мы имеем модуль справа, учтем оба случая:

y^4 + 1 = ±e^(-x^2 + 2D - 1 + y^4)

Теперь выразим y^4:

y^4 = ±e^(-x^2 + 2D - 1 + y^4) - 1

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y^4. Это может потребовать численных методов, так как выразить y^4 аналитически будет сложно.

После нахождения y^4 вы сможете найти y, исходя из знаковой функции.