Question

Найдите x(t), если V(t)=6t-3t^2 и t_0=2, x_0=6.

Answer 1

X(t) интеграл от v(t)

интеграл равен 6/2*t^2-3/3 * t^3+C = 3t^2-t^3+C 
t=2     X(2)=3*4-8+C=6      ⇒ 4+C=6     C=2

X(t)=3t^2-t^3+2

Answer 2

Для нахождения функции x(t), используя данное уравнение скорости V(t) и начальные условия t_0 и x_0, мы можем использовать интегрирование. Ускорение a(t) можно найти как производную скорости по времени:

a(t) = dV(t)/dt = d/dt (6t - 3t^2) = 6 - 6t

Теперь у нас есть ускорение, и мы можем найти функцию x(t) с помощью уравнения движения:

a(t) = d^2x(t)/dt^2

d^2x(t)/dt^2 = 6 - 6t

Теперь мы интегрируем это уравнение дважды по времени, чтобы найти x(t). Сначала найдем скорость:

dV(t)/dt = 6 - 6t

V(t) = ∫(6 - 6t) dt = 6t - 3t^2 + C₁

Теперь найдем x(t), интегрируя скорость по времени:

dx(t)/dt = V(t) = 6t - 3t^2 + C₁

x(t) = ∫(6t - 3t^2 + C₁) dt

x(t) = 3t^2 - t^3 + C₁t + C₂

Теперь, чтобы найти константы C₁ и C₂, мы можем использовать начальные условия t_0 = 2 и x_0 = 6:

x(2) = 3(2)^2 - (2)^3 + C₁(2) + C₂ = 6

12 - 8 + 2C₁ + C₂ = 6

4 + 2C₁ + C₂ = 6

C₁ + C₂ = 6 - 4

C₁ + C₂ = 2

Теперь у нас есть одно уравнение для C₁ и C₂. Теперь используем второе начальное условие:

x(2) = 6

Теперь подставляем t = 2 в x(t):

x(2) = 3(2)^2 - (2)^3 + C₁(2) + C₂ = 6

12 - 8 + 2C₁ + C₂ = 6

4 + 2C₁ + C₂ = 6

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

C₁ + C₂ = 2 4 + 2C₁ + C₂ = 6

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения C₁ и C₂:

C₁ + C₂ = 2 2C₁ + C₂ = 2

Вычитаем первое уравнение из второго:

(2C₁ + C₂) - (C₁ + C₂) = 2 - 2

C₁ = 0

Теперь, зная C₁, мы можем найти C₂:

C₁ + C₂ = 2 0 + C₂ = 2

C₂ = 2

Итак, мы нашли C₁ = 0 и C₂ = 2. Теперь мы можем записать окончательное уравнение для x(t):

x(t) = 3t^2 - t^3 + 2t

Таким образом, функция x(t) равна 3t^2 - t^3 + 2t.