Question

помогите решить,срочно!!! Найти значение производной функции в точке: а) f(x)=3 sin⁡x, x_0=π/3 б) f(x)=(6+5x)/(x+2), x_0=0

Answer 1

Найти значение производной функции в точке: а) f(x)=3 sin⁡x, x_0=π/3 б) f(x)=(6+5x)/(x+2), x_0=0

Пошаговое объяснение:

а) f(x)=3 sin⁡x,   x₀=π/3

f' (х)=3cosx ,  f' (π/3  )=3cos(π/3)=3*0,5=1,5

б) f(x)=(6+5x)/(x+2),  x₀=0

f' (х)= ( (6+5х)' (х+2)-(6+5х)(х+2)' )/(х+2)²=

=( 5(х+2)-1(6+5х) )/(х+2)²=( +4)/(х+2)²,

f' (0)= 4/(х+2)²=4/4=1

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти задачи!

а) Для функции $f(x) = 3 \sin(x)$ нам нужно найти производную и затем подставить $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Производная функции $f(x)$ равна производной синуса умноженной на коэффициент 3: $f'(x) = 3 \cdot \cos(x).$

Теперь, чтобы найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$, мы подставляем это значение в выражение для производной: $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$

Ответ: $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{6+5x}{x+2}$ также нужно найти производную и подставить $x_0 = 0$.

Используем правило дифференцирования для частного функций: $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}, \quad f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)},$

где $u(x) = 6 + 5x$ и $v(x) = x + 2$.

Вычислим производные: $u'(x) = 5, \quad v'(x) = 1.$

Теперь подставим все в формулу для производной: $f'(x) = \frac{5(x+2) - (6+5x) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{5x + 10 - 6 - 5x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}.$

И в точке $x_0 = 0$: $f'(0) = \frac{4}{(0+2)^2} = \frac{4}{4} = 1.$

Ответ: $f'(0) = 1$.

Пожалуйста, обратите внимание на правильность подстановок и вычислений при решении задач.