Question

Докажите, что если сумма (х в квадрате + у в квадрате ) делится на 3 и х, у -целые ,то х и у делятся на 3

Answer 1

Решаем от обратного: предположим, что х и у не делятся на 3. Тогда
их можно представить в виде :
 х=3к+1 и у =3м+1      или      х=3к+2, у=3м+2
.Рассмотрим 1 вариант:
(3к+1)²+(3м+1)² = 9к²+3к+1+9м²+3м+1=9к²+9м²+3к+3м+2
Полученная сумма не делится на 3, т.к в ней присутствует слагаемое 2, которое на 3 не делится. Следовательно, предположение не верно.
Аналогично со 2вариантом.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте воспользуемся методом доказательства от противного. Допустим, сумма $x^2 + y^2$ делится на 3, и при этом $x$ и $y$ являются целыми числами, но $x$ не делится на 3. Это означает, что $x$ можно записать как $x = 3k + r$, где $k$ - целое число, а $r$ - остаток от деления $x$ на 3, и $0 \leq r < 3$.

Теперь мы можем заменить $x$ в выражении $x^2 + y^2$ и увидеть, что:

$$x^2 + y^2 = (3k + r)^2 + y^2 = 9k^2 + 6kr + r^2 + y^2$$

Теперь давайте рассмотрим остаток этой суммы при делении на 3. Если мы разделим каждый член на 3 и рассмотрим остатки, то мы получим:

$$\begin{align*} &9k^2 \equiv 0 \pmod{3} \\ &6kr \equiv 0 \pmod{3} \text{ (так как один из множителей делится на 3)} \\ &r^2 \equiv r \pmod{3} \text{ (по малой теореме Ферма)} \\ &y^2 \equiv y^2 \pmod{3} \end{align*}$$

Теперь сложим все остатки вместе:

$$9k^2 + 6kr + r^2 + y^2 \equiv 0 + 0 + r + y^2 \pmod{3}$$

Так как сумма $x^2 + y^2$ делится на 3, это означает, что $r + y^2$ также делится на 3. Однако $r$ - остаток от деления $x$ на 3, и он может быть равен 0, 1 или 2, но в любом случае, $r + y^2$ не делится на 3, если $r$ не делится на 3. Это противоречит нашему исходному предположению.

Поэтому, если сумма $x^2 + y^2$ делится на 3, и $x$ и $y$ - целые числа, то оба $x$ и $y$ должны делиться на 3.