Question

Lgx- 1/2lg(x-1/2)=lg(x+1/2)-1/2lg(x+1/8) Помогите решить!

Answer 1

Применены свойства логарифмов

Answer 2

Давайте попробуем решить данное уравнение. Для начала, давайте избавимся от логарифмов, чтобы упростить уравнение:

1. Используем свойство логарифмов: lg(a) - lg(b) = lg(a/b):

   lg(x) - (1/2)lg(x - 1/2) = lg(x + 1/2) - (1/2)lg(x + 1/8)

2. Сделаем все логарифмы на одной стороне уравнения и числа на другой:

   lg(x) - lg(x + 1/2) + (1/2)lg(x + 1/8) - (1/2)lg(x - 1/2) = 0

3. Используем свойство логарифмов lg(a) + lg(b) = lg(ab) и lg(a) - lg(b) = lg(a/b):

   lg[(x/(x + 1/2)) * sqrt(x + 1/8) / sqrt(x - 1/2)] = 0

4. Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в степень 10 (предполагая, что логарифмы основаны на 10):

   (x/(x + 1/2)) * sqrt(x + 1/8) / sqrt(x - 1/2) = 1

5. Теперь давайте уберем корни, возводя каждую сторону в квадрат:

   [x/(x + 1/2)]^2 * (x + 1/8) / (x - 1/2) = 1

6. Раскроем скобки в выражении и упростим его:

   [x^2 / (x^2 + x/2)] * (x + 1/8) / (x - 1/2) = 1

7. Умножим обе стороны на (x^2 + x/2) и (x - 1/2) для избавления от дробей:

   x^2 * (x + 1/8) = (x^2 + x/2) * (x - 1/2)

8. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   x^3 + (1/8)x^2 = (1/2)x^3 + (1/4)x^2 - (1/2)x^2 - (1/4)x

9. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   x^3 - (1/2)x^3 + (1/4)x^2 - (1/4)x^2 - (1/4)x + (1/8)x^2 - (1/4)x = 0

10. Теперь объединим подобные члены:

(1/2)x^3 - (1/8)x^2 - (1/4)x = 0

11. Умножим уравнение на 8, чтобы избавиться от дробей:

4x^3 - x^2 - 2x = 0

12. Теперь факторизуем уравнение:

x(4x^2 - x - 2) = 0

13. Решим вторую скобку с помощью квадратного уравнения:

4x^2 - x - 2 = 0

14. Используя квадратное уравнение x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 4, b = -1 и c = -2:

x = (1 ± √(1 + 32)) / 8 x = (1 ± √33) / 8

Таким образом, уравнение имеет два корня:

x₁ = (1 + √33) / 8 x₂ = (1 - √33) / 8

Пожалуйста, проверьте полученные корни, так как в процессе решения могут возникнуть ошибки.