Question

Решить уравнение (lgx)^2+lgx^2 + lgx^3 = 6 Если уравнение имеет более одного корня, то в ответ запишитепроизведение корней.​

Answer 1

$(lgx)^2+lgx^2 + lgx^3 = 6$

$lg^2x+2lgx + 3lgx = 6$

$lg^2x+5lgx - 6=0$            ОДЗ: $x>0$

Замена:

$lgx =t$

$t^{2} +5t-6=0$

$D=25-4*1*(-6)=25+24=49=7^2$

$t_1=\frac{-5-7}{2}=-6$

$t_2=\frac{-5+7}{2}=1$

Обратная замена:

1)    $lgx=-6$

      $x_1=10^{-6}$

2)   $lgx=1$

    $x_2=10^1$

    $x_2=10$

Уравнение имеет два корня, находим их произведение:

$x_1*x_2=10^{-6}*10= 10^{-6+1}=10^{-5}$

$x_1*x_2=10^{-5}$

Ответ: $10^{-5}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим lgx на y. Тогда уравнение примет вид:

y^2 + y^2 + y^3 = 6

Теперь объединим одинаковые слагаемые:

2y^2 + y^3 = 6

Приведем уравнение к виду y^3 + 2y^2 - 6 = 0.

Поскольку у нас нет явных коэффициентов для деления, попробуем найти рациональные корни этого уравнения, используя рациональный корень теоремы. Испытаем делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6.

Подставим значения в уравнение и проверим, равны ли нулю:

Для y = -1: (-1)^3 + 2(-1)^2 - 6 = -1 + 2 - 6 = -5 Для y = 1: (1)^3 + 2(1)^2 - 6 = 1 + 2 - 6 = -3 Для y = -2: (-2)^3 + 2(-2)^2 - 6 = -8 + 8 - 6 = -6 Для y = 2: (2)^3 + 2(2)^2 - 6 = 8 + 8 - 6 = 10 Для y = -3: (-3)^3 + 2(-3)^2 - 6 = -27 + 18 - 6 = -15 Для y = 3: (3)^3 + 2(3)^2 - 6 = 27 + 18 - 6 = 39 Для y = -6: (-6)^3 + 2(-6)^2 - 6 = -216 + 72 - 6 = -150 Для y = 6: (6)^3 + 2(6)^2 - 6 = 216 + 72 - 6 = 282

Из полученных значений видно, что y = 2 является рациональным корнем уравнения y^3 + 2y^2 - 6 = 0.

Теперь найдем остальные два корня. Для этого мы можем разделить исходное уравнение на (y - 2):

(y^3 + 2y^2 - 6) / (y - 2) = 0

Используем деление многочленов и получим:

y^2 + 4y + 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(y + 1)(y + 3) = 0

Таким образом, получаем два дополнительных корня: y = -1 и y = -3.

Перейдем от y обратно к x, используя lgx:

lgx = y

Тогда корни уравнения будут:

lgx = 2, lgx = -1, lgx = -3

Извлечем 10 в степень с обеих сторон уравн