Question

Помогите плиз 1) найти общий интеграл дифференциального уравнения: xy'=y*ln(y/x) 2)Найти общее решение дифференциального уравнения : x^2*y''+xy'=1

Answer 1

Решение приложено в фотографии.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из ваших дифференциальных уравнений по очереди:

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: xy' = y * ln(y/x)

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться методом разделяющихся переменных. Сначала перепишем уравнение:

xy' = y * ln(y/x)

Теперь разделим переменные, переместив члены с y и x на разные стороны уравнения:

(1/y) * dy = ln(y/x) * dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫ln(y/x) dx

Интегрирование левой стороны:

ln|y| = ∫ln(y/x) dx

Для интегрирования правой стороны, воспользуемся методом интегрирования по частям:

∫ln(y/x) dx = xln(y/x) - ∫x * (-1/x) * (1/y) dy

Это можно упростить до:

xln(y/x) + ∫(1/y) dy

Теперь мы можем продолжить интегрирование:

∫(1/y) dy = ln|y|

Итак, у нас есть:

ln|y| = xln(y/x) + ln|y| + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем избавиться от ln|y|, взяв экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(xln(y/x) + ln|y| + C)

|y| = e^(ln(y/x) + C)

|y| = e^(C) * (y/x)

Теперь, учитывая, что C - произвольная константа, мы можем записать:

|y| = k * (y/x)

где k = e^C. Теперь рассмотрим два случая:

1. Если y > 0, то |y| = y, и у нас есть:

y = k * (y/x)

Теперь выразим y:

y = k * (y/x) yx = k * y yx - ky = 0

2. Если y < 0, то |y| = -y, и у нас есть:

-y = k * (y/x)

Теперь выразим y:

-y = k * (y/x) -yx = ky yx + ky = 0

Таким образом, общее решение уравнения xy' = y * ln(y/x) выглядит следующим образом:

y(x) = Ax, где A - произвольная константа.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения: x^2*y'' + xy' = 1

Для решения этого уравнения сначала заметим, что оно линейное. Давайте введем замену:

z = y'

Тогда уравнение примет вид:

x^2z' + xz = 1

Теперь это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

z' + (1/x)z = (1/x^2)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем решить его, используя метод интегрирующего множителя. Подберем интегрирующий множитель:

μ(x) = e^∫(1/x) dx = e^ln|x| = |x|

Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

|x|z' + |x|z = 1/x

Теперь левая сторона уравнения является производной от (|x|z) по x. Интегрируя обе стороны, получим:

d/dx (|x|z) = 1/x

Интегрируем обе стороны по x:

∫d/dx (|x|z) dx = ∫(1/x) dx

|x|z = ln|x| + C

Теперь выразим z:

z = (ln|x| + C) / |x|

Теперь, чтобы найти y, интегрируем z:

y = ∫z dx

y = ∫[(ln|x| + C) / |x|] dx

Теперь мы получили общее решение дифференциального уравнения x^2y'' + xy' = 1:

y(x) = ∫[(ln|x| + C) / |x|] dx

где C - произвольная константа.