Question

Раскройте скобки в выражении （х-1）в 5 степени по биному Ньютона

Answer 1

$(a+b)^n=\displaystyle \sum^n_{k=0}C_n^ka^{n-k}b^k$ - бином Ньютона

$(x-1)^5=\displaystyle \sum^{n=5}_{k=0}C_n^kx^{n-k}(-1)^k=C_5^0x^{5-0}(-1)^0+C^1_5x^{5-1}(-1)^1+\\ \\ +C^2_5x^{5-2}(-1)^2+C^3_5x^{5-3}(-1)^3+C^4_5x^{5-4}(-1)^4+C^5_5x^{5-5}(-1)^5=\\ \\ =x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1$

Answer 2

Для раскрытия выражения (х-1)^5 с использованием бинома Ньютона, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

(x - y)^n = C(n, 0) * x^n * (-y)^0 + C(n, 1) * x^(n-1) * (-y)^1 + C(n, 2) * x^(n-2) * (-y)^2 + ... + C(n, n) * x^0 * (-y)^n

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент (количество сочетаний из n элементов по k элементов), который вычисляется как:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

В данном случае, n = 5 и y = 1, поэтому у нас есть:

(x - 1)^5 = C(5, 0) * x^5 * (-1)^0 + C(5, 1) * x^4 * (-1)^1 + C(5, 2) * x^3 * (-1)^2 + C(5, 3) * x^2 * (-1)^3 + C(5, 4) * x^1 * (-1)^4 + C(5, 5) * x^0 * (-1)^5

Теперь вычислим каждый биномиальный коэффициент C(5, k) и упростим выражение:

C(5, 0) = 5! / (0! * (5 - 0)!) = 1 C(5, 1) = 5! / (1! * (5 - 1)!) = 5 C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10 C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10 C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5 C(5, 5) = 5! / (5! * (5 - 5)!) = 1

Теперь у нас есть:

(x - 1)^5 = 1 * x^5 * 1 + 5 * x^4 * (-1) + 10 * x^3 * 1 + 10 * x^2 * (-1) + 5 * x * 1 + 1 * 1 * (-1)

Теперь упростим каждое слагаемое:

x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1

Итак, раскрытое выражение (x - 1)^5 равно:

x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1