Question

Решите неравенство 7 в степени х квадрат *49в степени -х>343

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать следующие шаги:

1. Запишем неравенство: $7^{x^2} \cdot 49^{-x} > 343$.

2. Раскроем степени: $7^{x^2} \cdot \frac{1}{7^{x}} > 343$.

3. Выразим обе стороны через основание 7: $7^{x^2 - x} > 343$.

4. Раскроем 343 как $7^3$: $7^{x^2 - x} > 7^3$.

5. Теперь сравниваем показатели степени: $x^2 - x > 3$.

6. Переносим 3 на левую сторону: $x^2 - x - 3 > 0$.

7. Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого найдем его корни, то есть значения x, при которых $x^2 - x - 3 = 0$.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

В данном случае $a = 1$, $b = -1$, и $c = -3$.

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

8. Теперь мы должны определить интервалы, на которых неравенство $x^2 - x - 3 > 0$ выполняется. Мы видим, что коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$), что означает, что парабола открывается вверх, и она положительна выше своего вершины. Вершина параболы находится в точке $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наше неравенство будет положительным между корнями $x_1$ и $x_2$ и отрицательным вне этого интервала.

Итак, решением неравенства $7^{x^2} \cdot 49^{-x} > 343$ является:

$x \in \left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right)$

Answer 3

Для решения данного неравенства нужно избавиться от степени и выразить x. Давайте разберемся:

7^x^2 * 49^-x > 343

Сначала упростим выражение:

7^x^2 * (7^2)^-x > 7^3

Теперь применим свойство степени:

7^x^2 * 7^(-2x) > 7^3

Теперь мы можем объединить выражения с одинаковой базой (7) при помощи свойства умножения степеней с одинаковой базой:

7^(x^2 - 2x) > 7^3

Теперь у нас есть неравенство с одинаковой базой (7), поэтому можно сравнить показатели степени:

x^2 - 2x > 3

Теперь преобразуем неравенство и попробуем найти значения x:

x^2 - 2x - 3 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни:

x^2 - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 3 и x = -1.

Теперь мы можем построить знаки вокруг этих точек на числовой оси и определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

1. Если x < -1, то оба множителя x^2 - 2x - 3 и x - 3 будут отрицательными, и их произведение будет положительным. То есть, неравенство выполняется на интервале (-∞, -1).

2. Если -1 < x < 3, то x^2 - 2x - 3 будет отрицательным, но x - 3 будет положительным. То есть, неравенство не выполняется на этом интервале.

3. Если x > 3, то оба множителя x^2 - 2x - 3 и x - 3 будут положительными, и их произведение также будет положительным. То есть, неравенство выполняется на интервале (3, ∞).

Итак, решение неравенства: x принадлежит интервалам (-∞, -1) и (3, ∞).