Question

Вычислить площадь фигур ограниченных графиками функций y=√4-x², y=0 x=0, x=1

Answer 1

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций
y=√(4-x²), y=0, x=0, x=1.
Это довольно сложная функция, интегрирование её для определения площади приведено в приложении.
Ответ: S = (√3/2) + (π/3) ≈ 1,91322.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = √(4 - x²), y = 0, x = 0 и x = 1, мы можем воспользоваться интегралом. В данном случае, фигура представляет собой часть полукруга радиусом 2 (график функции y = √(4 - x²)) и прямоугольник со сторонами x = 0 и x = 1.

1. Вычислим площадь полукруга. Это можно сделать с помощью следующего интеграла:

   S₁ = ∫[0, 2] √(4 - x²) dx

   Сначала выполним замену переменной, чтобы упростить интеграл:

   Пусть x = 2sin(t), тогда dx = 2cos(t)dt.

   Интеграл становится:

   S₁ = ∫[0, π/2] √(4 - (2sin(t))²) * 2cos(t) dt = ∫[0, π/2] √(4 - 4sin²(t)) * 2cos(t) dt = ∫[0, π/2] 2cos(t) * 2|cos(t)| dt (используем, что √(1 - sin²(t)) = |cos(t)|)

   Теперь можем интегрировать:

   S₁ = 4∫[0, π/2] cos²(t) dt

   Используем формулу двойного угла для косинуса:

   S₁ = 4∫[0, π/2] (1 + cos(2t))/2 dt = 4/2 * [t + (sin(2t)/2)] [0, π/2] = 2 * [(π/2 + sin(π) - 0) - (0 + sin(0))/2] = 2 * [(π/2 - 0) - (0)/2] = π

2. Теперь вычислим площадь прямоугольника, который имеет ширину 1 (x = 0 до x = 1) и высоту 0:

   S₂ = 1 * 0 = 0

Итак, общая площадь фигуры ограниченной графиками функций y = √(4 - x²), y = 0, x = 0 и x = 1 равна:

S = S₁ + S₂ = π + 0 = π

Ответ: Площадь этой фигуры равна π квадратным единицам.