Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции y=0.5x^2-2x+3 и y=7-x

Answer 1

Y=0,5x²-2x+3    y=7-x      S-?
0,5x²-2x+3=7-x
0,5x²-x-4=0   |×2
x²-2x-8=0    D=36      √D=6
x₁=-2      x₂=4    ⇒
S=₋₂∫⁴(7-x-0,5x²+2x-3)dx=₋₂∫⁴(4+x-0,5x²)dx=(4x+x²/2-x³/6) ₋₂|⁴=
=4*4+4²/2-4³/6-(4*(-2)+(-2)²/2-(-2)³/6)=16+8-32/3-(-8+2+4/3)=
=24-32/3+6-4/3=30-12=18.
Ответ: S=18 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 0.5x^2 - 2x + 3 и y = 7 - x, нам нужно найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры. Эти точки будут являться вершинами интервала, на котором мы будем интегрировать, чтобы найти площадь.

Сначала найдем точки пересечения:

0.5x^2 - 2x + 3 = 7 - x

Для начала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

0.5x^2 - 2x + x - 3 - 7 = 0

0.5x^2 - x - 10 = 0

Умножим оба члена уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

x^2 - 2x - 20 = 0

Теперь попробуем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4(1)(-20) D = 4 + 80 D = 84

Теперь мы можем найти два значения x, используя квадратное уравнение:

x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (-(-2) + √84) / (2(1)) x1 = (2 + √84) / 2 x1 = (2 + 2√21) / 2 x1 = 1 + √21

x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (2 - √84) / 2 x2 = (2 - 2√21) / 2 x2 = 1 - √21

Теперь у нас есть две точки пересечения x1 и x2. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим их в уравнения:

Для y = 0.5x^2 - 2x + 3: y1 = 0.5(1 + √21)^2 - 2(1 + √21) + 3 y1 = 0.5(1 + 42 + 21) - (2 + 2√21) + 3 y1 = 22.5 - 2 - 2√21 + 3 y1 = 23.5 - 2√21

y2 = 0.5(1 - √21)^2 - 2(1 - √21) + 3 y2 = 0.5(1 + 42 + 21) - (2 - 2√21) + 3 y2 = 22.5 - 2 + 2√21 + 3 y2 = 25.5 + 2√21

Теперь у нас есть две пары точек пересечения: (x1, y1) и (x2, y2).

Теперь мы можем найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, интегрируя разницу между ними на интервале [x1, x2]:

Площадь = ∫[x1, x2] (0.5x^2 - 2x + 3 - (7 - x)) dx

Площадь = ∫[x1, x2] (0.5x^2 - 2x + 3 - 7 + x) dx

Площадь = ∫[x1, x2] (0.5x^2 - x - 4) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

Площадь = [ (1/6)x^3 - (1/2)x^2 - 4x ] от x1 до x2

Площадь = [(1/6)(1 + √21)^3 - (1/2)(1 + √21)^2 - 4(1 + √21)] - [(1/6)(1 - √21)^3 - (1/2)(1 - √21)^2 - 4(1 - √21)]

Вычислите значения в скобках и найдите разницу между ними, чтобы получить площадь между графиками.