Question

Log5(8x^2+7)-log5(x^2+x+1)>=log5(x/x-7 +7) Помогите , пожалуйста, решить неравенство))

Answer 1

...............................

Answer 2

Давайте разберемся с данной неравенством пошагово. Начнем с упрощения выражений в логарифмах и применения свойств логарифмов.

Исходное неравенство: log₅(8x² + 7) - log₅(x² + x + 1) ≥ log₅(x/(x - 7) + 7)

1. Используем свойство логарифмов: log₅(a) - log₅(b) = log₅(a/b): log₅((8x² + 7) / (x² + x + 1)) ≥ log₅(x/(x - 7) + 7)

2. Переносим логарифмы на одну сторону неравенства: log₅((8x² + 7) / (x² + x + 1)) - log₅(x/(x - 7) + 7) ≥ 0

3. Используем свойство логарифма logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b/c): log₅(((8x² + 7) / (x² + x + 1)) / (x/(x - 7) + 7)) ≥ 0

4. Упрощаем выражение внутри логарифма: log₅((8x² + 7) / (x(x + 1)) / ((x - 7) + 7x)) ≥ 0

5. Упрощаем дальше: log₅((8x² + 7) / (x(x + 1)) / (8x)) ≥ 0

6. Теперь упростим числитель и знаменатель: log₅((x² + 7) / (x(x + 1))) ≥ 0

7. Выражение внутри логарифма должно быть положительным числом, чтобы неравенство имело смысл. Так как логарифм с основанием 5 от положительного числа всегда положителен, у нас нет ограничений на выражение внутри логарифма. То есть:

(x² + 7) / (x(x + 1)) > 0

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Для этого определим знак числителя и знаменателя в выражении (x² + 7) / (x(x + 1)).

1. Знак числителя (x² + 7) зависит от x². Это выражение всегда положительно, так как x² не может быть отрицательным.

2. Знак знаменателя x(x + 1) зависит от x и (x + 1). Заметим, что x и (x + 1) имеют разные знаки в разных интервалах:

   • Если x < -1, то оба множителя x и (x + 1) отрицательны.
   • Если -1 < x < 0, то x отрицателен, но (x + 1) положителен.
   • Если x > 0, то оба множителя x и (x + 1) положительны.

Теперь мы можем определить интервалы, на которых неравенство (x² + 7) / (x(x + 1)) > 0 выполняется:

1. x < -1: В этом интервале оба множителя числителя и знаменателя отрицательны, поэтому их отношение положительно.
2. -1 < x < 0: В этом интервале числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому их отношение отрицательно.
3. x > 0: В этом интервале оба множителя числителя и знаменателя положительны, поэтому их отношение положительно.

Таким образом, неравенство (x² + 7) / (x(x + 1)) > 0 выполняется на интервалах:

1. x < -1
2. x > 0

Это означает, что исходное неравенство

log₅((8x² + 7) / (x(x + 1))) ≥ 0

выполняется на этих интервалах.